Почему синус 30 градусов равен 0,5?

Идея доказательства такая: достраиваем прямоугольный треугольник до равностороннего. Если вам не хватит картинки, чтобы довести доказательство до ума, откройте книжку.

Потому что y-координата точки под углом 30 градусов на единичной окружности равняется 0.5

Сам смысл синуса - это длинна проекции единичного вектора по оси У.
Берете циркуль, чертите окружность с радиусом 1 дм.
Берете транспортир, и откладываете 30° от оси Х вверх.
Строите проекции получившегося единичного вектора на оси. Измеряете линейкой проекцию на ось У - получаете ровно 0,5 дм.
Посчитайте так - косинус, это проекция по оси Х

Запоминание через понимание

Смотрим определение синуса в учебнике геометрии. "Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе".

Дает ли это определение понимание синуса? Нет, не дает. Определение не полное. Потому что оно рассматривает только частный случай треугольника - прямоугольный треугольник.

Смотрим определение синуса в учебнике алгебры. "Ордината точки Р, полученной при повороте точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол а-радиан, называется синусом числа а, а абсцисса этой точки - косинусом".

Это определение вообще из области математической абстракции, так как вводит отрицательные значения синуса и косинуса. И с пониманием синуса по этому определению ещё больше сложностей.

Есть простой тест на понимание синуса и косинуса. Попросите школьника нарисовать линию косинуса для произвольного треугольника (не прямоугольного). Если он этого сделать не может - он не понимает, что такое синус и косинус. Итак, школьные учебники не дают информации для понимания понятий "синус" и "косинус". Основное понятие тригонометрии (и элементарное понятие) "засекретили", спрятали в частных случаях и в математических абстракциях.

При возникновении проблем с пониманием сейчас можно обратиться к поисковым системам и найти в них недостающую информацию. Чтобы визуализировать синус и косинус, нужно вернуться к истокам тригонометрии, понять, откуда эти понятия появились, и для каких целей.

Изначально синус не связан с треугольником. Синус появился из окружности и вписанного в окружность угла.

В окружности с единичным диаметром синус - это хорда, на которую опирается вписанный угол. А косинус - это перпендикулярная хорде-синусу хорда. На иллюстрации видно, что для любого вписанного угла в окружности имеется две линии синуса и две линии косинуса, которые образуют прямоугольник.

Вот эту иллюстрацию и следует использовать для запоминания понятий "синус" и "косинус". По этой иллюстрации можно дать определение синусу своими словами. Связан ли синус (длина хорды) с противолежащим углом? Ведь мы привыкли говорить "синус угла". Связь длины хорды с углом очень не простая... Скорее, можно говорить о табличном соответствии длины хорды и величины вписанного в окружность угла.

Синус напрямую связан с другим элементом в окружности - с её диаметром. Если мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус - это коэффициент пропорциональности стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие "синус" напрямую связано со стороной треугольника. Но традиции есть традции - принято говорить "синус угла".

Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр. Величины углов нам для этого не нужны.

Это только в евклидовой геометрии. Например у Лобачевского:

Рисуем прямоугольный треугольник с уголом 30 градусов, измеряем катет и гипотенузу, делим друг на друга и "О, мистика", получаем ровно 0,5.
Ну так получилось

потому, что 1кг - всегда 1000г

так учительша сказала