Как доказать, что сумма сходящейся и расходящейся последовательностей расходится?

От противного.

Пусть сумма сходится.
Тогда Yn - разность двух последовательностей: (Xn + Yn), которая сходится по допущению и Xn, которая сходится по условию. А разность двух сходящихся последовательностей тоже сходится. Выходит, что Yn сходится, тогда как по условию она расходится. Противоречие.

Значит, Xn + Yn расходится.

можно просто по определению. сходящаяся с какого-то номера N1 будет отличаться от предела не более, чем на заданное эпсилон, расходящаяся с какого-то номера N2 больше любого заранее заданного числа. Задайте для расходящейся лимит на эпсилон больше, полУчите для N=max(N1, N2) выполнение условия расхождения

Легко, через Коши, если кусок сходится/расходится то и вся сходится/расходится

По критерию Коши, последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна (синоним фундаментальной последовательности - последовательность Коши). Буду доказывать ваше утверждение в терминах фундаментальности.

Пусть {a_n} сходится и фундаментальна, {b_n} расходится и не является фундаментальной. Запишем определение фундаментальности.

(1) Для любого eps1 > 0 существует N1(eps1) такое, что для любых n11 > N1, n12 > N1 справедливо |a_n11 - a_n12| < eps1
(2) Существует eps2 > 0, такое, что для любого N2 существуют n21 > N2, n22 > N2 такие, что |b_n21 - b_n22| >= eps2

Требуется доказать:
(3) Существует eps3 > 0, такое, что для любого N3 существуют n31 > N3, n32 > N3 такие, что |a_n31 - a_n32 + b_n31 - b_n32| >= eps3
Фиксируем произвольное N3.
Выберем из (2) eps2.
Из (1) найдем N1(eps2/2)
Положим N3* = max(N3, N1(eps2/2))

По (2) существуют n21 > N3* >= N3, n22 > N3* >= N3, такие, что |b_n21 - b_n22| >= eps2 (*)
Т. к. N3* >= N1(eps2/2), то по (1) имеем |a_n21 - a_n22| < eps2/2 (**)

Вычитая из (*) (**), получаем |a_n21 - a_n22| - |b_n21 - b_n22| >= eps2/2 > 0, откуда
|a_n21 - a_n22 - b_n21 - b_n22| >= eps2/2 > 0
По построению n21 > N3, n22 > N3.
Таким образом, выбрав в качестве eps3 число eps2/2, получаем доказываемое утверждение.

PS. Теперь расшифрую, почему я поступил настолько через жопу. R - это, по сути, пополнение Q, т. е. расширение Q так, чтобы любая фундаментальная последовательность имела предел, и алгебраические свойства, унаследованные от Q, сохранялись.
А я понятия не имею, что вы уже проходили, а что - нет.

не понял :)
Если первый ряд расходится, то сумма всех его элементов равна ±∞. Если второй ряд сходится, то сумма всех его элементов равна n

Значит сумма этих последовательностей равна
±∞ + n = ±∞