Представьте перед собой куб, на нижней грани которого находится точка. Куб нужно повернуть влево, вправо, вперед и назад

После всех этих действий окажется там же...)

А что значит повернуть куб влево или вперёд?

Давайте тогда уж называть всё правильно. Куб можно вращать вокруг какой-то оси по часовой стрелке или против. Предлагаю всё сделать правильно, и оси у нас будут расположены так: x параллельна нашему взгляду и направлена на нас, y идёт слева-направо, z - снизу-вверх.

По часовой стрелке происходит вращение или против, мы будем определять направляя взгляд в соответствии с направлением соответствующей оси (так, что бы определить куда фигура вращается вокруг оси x, нам нужно обойти куб и посмотреть на него с противоположной стороны)

У нас есть 6 возможных поворотов, при чём они попарно взаимоисключающие (поворот вправо обратный повороту влево). Раз повороты есть прямые и обратные, то нам достаточно описать только 3 поворота, а в зависимости от направления выполнять действия в прямом порядке или в обратном. Описывать будем повороты против часовой стрелки (как и принято в математике основными поворотами считать те, которые против часовой стрелки)

Обозначим грани числами от 1 до 6 (верхняя 1, правая 2, нижняя 3, левая 4, передняя 5, задняя 6)

Тогда повороты нам дают циклическую перестановку, вот её и запишем
x = (4321) // это значит что грань 4 стаёт на место 3, 3 - на место 2, 2 - на место 1, и 1 - на место 4
y = (5163)
z = (5264)

осталось дело за малым, записать в нужном порядке операции и проследовать по цепочке перемещения какой либо грани (ещё одна непривычность для школьника в реальной математике то, что операции записываются в обратном порядке, справа-налево, но мы всё же для удобства будем писать слева-направо)

Ещё для упрощения записи будем обозначать поворот против часовой стрелки соответствующей буквой, а по часовой стрелке этой же буквой с чертой над ней типа (x̅, y̅ и z̅). Для дучшего закрепления разберём один конкретный пример:
проследим как перемещалась грань 3, при такой последовательности поворотов - xyz̅y̅xy

проще некуда:
x - 3 -> 2
y - 2 -> 2
z̅ - 2 -> 5
y̅ - 5 -> 3
x - 3 -> 2
y - 2 -> 2

После этой последовательности поворотов кубика грань 3 перешла в грань 2 :)

Ну всё, рассказал наверное всё, что знал по теме. Думаю теперь Вы сможете ответить на свой вопрос без сторонней помощи :)

P.S. Хотя если задача отслеживания конкретной грани, то можно, наверное, сделать намного проще и заюзать правила векторного произведения :)

Там же, где и была.