На плоскости в пространстве между прямыми p и k находится точка М. Необходимо провести окружность с центром на прямой p

PS. Т. е. прямые p и k не параллельны (иначе слишком просто).

Ну, давайте через подобие треугольников строить - точку пересечения p и k обозначим T. Проводим прямую TM. Строим какой-нибудь (произвольный) треугольник M'PK с вершинами на соотвественно TM, p, k, для которого P является центром окружности,. касающейся k и проходящей через M'. Ну и дальше понятно - продолжаем построение, используя подобие треугольников....

Не слишком ли я кратко идею изложил?

В пространстве задача имеет бесконечное количество решений. Даже на плоскости решений будет пара. Рассмотрите ВСЕ окружности, которые проходят через M и касаются k. (Ну, хотя бы пару). Посмотрите, где будут располагаться их центры (на паре прямых - это доказать надо). Ну, а дальше догадаетесь, что точка пересечения линии центров и p вам очень нужна.

Общее решение.
Прямая "к" считается заданной. Возьмём на ней произвольную точку (x',y'). Пусть некоторая другая точка (x0,y0) является точкой касания искомой окружности.

Тогда имеем
a(x'-x0)+b(y'-y0)=0 (обе точки лежат на заданной прямой k)

-b(x-x0)+a(y-y0)=0 (перпендикуляр к прямой "к") в точке (x0,y0)
Ищем точку (x2,y2) на перпендикуляре, равноотстоящую от (x0,y0) и точки М (x1,y1), и, при этом, лежащую на прямой "р":
c(x-x2)+d(y-y2)=0
где (x,y) текущая точка на прямой "р". Мы можем потребовать, чтобы она лежала на перпендикуляре к прямой "к", проходящем через точку (x',y')
Итак должны совпадать расстояния:
(x2-x0)^2+(y2-y0)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

Выпишем уравнение искомой окружности:

Она должна проходить через точку М (x1,y1) и точку с координатами (x0,y0) и, кроме того, центром её должна быть точка с координатами (x2,y2).
Отсюда получаем, что точки (x0,y0) и (x1,y1) должны удовлетворять уравнению искомой окружности с центром в точке (x2,y2)
в частности
(x0-x2)^2+(y0-y2)=r^2
аналогично
(x1-x2)^2+(y1-y2)=r^2
Кроме того, точка (x2,y2) лежит на заданной прямой "р":
c(x-x2)+d(y-y2)=0

Кроме того, мы как было уже сказано, вправе потребовать, что точка (x',y') и точка (x,y) принадлежат одному и тому же перпендикуляру к прямой "к"

-b(x-x')+a(y-y')=0

В итоге, мы получаем систему уравнений, для определения трех искомых неизвестных величин x2,y2,r.

-b(x-x')+a(y-y')=0 (уравнение перпендикуляра к прямой "к" к точке (x',y')
-b(x2-x0)+a(y2-y0)=0
a(x'-x0)+b(y'-y0)=0
(x0-x2)^2+(y0-y2)=r^2
(x1-x2)^2+(y1-y2)=r^2
c(x-x2)+d(y-y2)=0 (центр окружности лежит на прямой "р")
-d(x'-x2)+c(y'-y2)=0 ( точки (x',y') и (x2,y2) принадлежат соответственно прямым "к" и "р" но обе лежат на перпендикуляре к прямой "р")
Заметим, что точки (x',y') и (x,y) принадлежат соответственно прямым "к" и "р", но обе лежат на перпендикуляре к прямой "к")

Итак, мы получили систему из 7 уравнений, в которой неизвестны ровно 7 величин, - (x,y,x0,y0,x2,y2,r). Все остальные параметры, по условию, считаются известными, а точка c координатами (x',y') задана нами произвольно. Исследование этих уравнений это уже алгебраическая задача. То есть, это рутинная задача, с применением известных методов. Она хороша и тем что свободна от поисков разных вариантов построения. Значит она уже и есть решение, точнее " полуфабрикат" решения. По смыслу задачи, решение не должно зависеть от произвола в выборе точки (x'y') на прямой "к", исключая случай, когда вы сразу попадете на искомую точку касания. В этом случае, очевидно, задача еще более упростится. Или, в крайнем случае, вам просто можно будет выбрать другую точку (x',y') и свести все к выписанной данной алгебраической системе уравнений. Конечно, решение семи уравнений непросто, но здесь все сводится к рутинным выкладкам. Кроме того, мы попутно доказали, что задача действительно имеет решение и, причем, единственное решение. Что построением было бы сделать невозможно. Заметьте, что один из отвечающих голословно заявил что задача имеет бесконечное множество решений. Значит чисто геометрически, поиском способов построения, вы не смогли бы доказать тот неочевидный факт, что задача имеет решение. И этих решений столько же, сколько их допускает данная система из семи уравнений. Поэтому, можно считать, что задача решена. Если я что то упустил, обращайтесь.

Строй перпендикуляр из точки М на прямую k.
Теперь проводи окружность с центром в т. А и радиусом АМ.
Затем из т. В проводи перпендикуляр на прямую p.
Вот и все, теперь строишь окружность с цетром в т. С и радиусом СВ.
Кажется, правильно.