В чём физическая сущность массы тела?

В чём сущность - непонятно.
Но вот проявления этой сущности известны довольно давно: тела, обладающие массой, демонстрируют свойство инертности. И участвуют в гравитационном взаимодействии. В ньютоновской механике гравитационная и инертная массы пропорциональны.
В ОТО - эквивалентны.

"Масса - постоянная величина в функции Лагранжа для материальной точки"
Ландау, Лифшиц "Курс теоретической физики" т. 1, § 4

Любая масса это следствие вращения. Чем больше частота вращения тем больше (меньше) и то что называется "массой". Имеет значение вектор вращения. Если тело вращать в ту же сторону что и земля тело будет увеличивать вес (массу), если против вращения земли то наоборот вес вес будет уменьшаться... опыты товарища Козырева ясно указали на этот момент. Все прекрасно знают его Опыты с гироскопом. Вращающаяся материя создает воронку, другое тело тоже. Они "видят" друг друга также как видят друг друга циклоны и антициклоны, они могут сливаться (притягиваться) друг с другом, но антициклон отталкивается от циклона, так как вращается в другую сторону. Также "видят" друг друга два провода под напряжением. Чем больше напряжение и ток, тем большую воронку создает провод вдоль себя, это называется электромагнитное поле", два провода с током одного направления притягиваются по той же самой причине что и два корабля притягиваются между собой идущие одним курсом. Если в случае с проводом воронку вокруг и вдоль проводника образует ток, то в случае с кораблями работающие винты. Поэтому при швартовке расходятся носы. И наоборот, провода с током разного направления отталкиваются по той же самой причине что и два корабля идущие встречными курсами, винты вращаются в разные стороны, подобно отталкивающимся циклону и антициклону. Помним мудрость Великого Теслы "все процессы в природе происходят одинаково". Природа притяжения всегда одинакова, неважно что притягивается, яблоко к Земле, провода друг к другу, два любящих человека или корабли идущие одним курсом. Это закон природы и мы можем лишь "подставлять" под него процессы которые хотим понять, познать и в итоге одеть в одежды прогресса.

Козырев Николай Александрович - Неизведанный мир
http:// vk.com/doc300446642_409999355
Пробел убери

В массе частиц его составляющих наверное

формулировка "количество вещества" не устраивает, хочется знать, " а что это на самом деле"?)

Сущность массы - это количество вещества. Вещество по сути не определено до сих пор, но считается, что это антипод пустоты.
После появления ОТО Эйнштейна, массу связали с энергией. Излучение фотонов, считается излучением энергии, при этом фотон лишили массы, а недостаток массы после излучения, назвали дефектом.
Думаю это дефект мозгов. Если фотону вернуть массу, то дефект исчезает. Если считать, что масса объекта уносится массой фотонов, то закон сохранения массы, предложенный Ломоносовым, отменять нет необходимости.

По Ньютону масса - это свойство физического тела, показывающее, какую силу к нему надо приложить, чтобы вызвать определенное ускорение. Короче F=m*a

Инертная масса определяется в ИСО ускорением свободного падения. Гравитационная масса показывает с какой силой тело взаимодействует с внешними полями тяготения.