Правильно я понимаю процессы нагрева и охлаждения газа при его сжатии и расширении? Их моё понимание, я описал в фото:

Первое начало термодинамики. При адиабатном процессе нет теплообмена с окружающей средой и механическая энергия сжатия переходит во внутреннюю, а при расширении газ совершает работу за счет внутренних резервов.

Нечто похожее написано в учебнике по физике.

Нет, неправильно понимаете. Да и объяснение ваше не оригинальное. В №8 ж-ла "ТМ" за 1975 г. была опубликована статья В. Околотина "Привычные парадоксы механики", где автор, разнося ньютоновы законы "в пух и прах", по ходу приводит в точности эти же мысли о причине роста температуры при адиабатном сжатии и падении - при расширении. Статью эту я прочёл лишь летом 1981 года и потому моё обширное "письмо-опровержение" в редакцию, хотя и одобрили, но не опубликовали. В письме я, в частности, заметил: "Молекулы - это не дроби в мешочке, чтобы разогревались от увеличения частоты взаимных столкновений..." Писал и об истинной причине изменения температуры, о которой догадался, и читал чуть позже в Факультативном курсе физики для 9 класса (авторы О. Ф. Кабардин и др.), 1978 г.
Впрочем, по данному объяснению я вскоре вывел уравнение адиабатного процесса на основе МКТГ (такого вывода я до сих пор нигде не встречал); однако опубликовать его удалось лишь в 2003 году.

Любые процессы с нагревом или охлаждением свидетельствуют о преобразованиях энергии из одного вида в другой. Кроме этого следует всегда рассматривать явления и процессы во времени, имея ввиду причины и следствия, то есть выстраивая во времени цепочку объяснений, описывающих преобразования.
А под преобразованиями следует понимать количественные и качественные изменения.
Вместо слов больше - меньше нужно употребить чаще - реже. С самого начала надо сказать, что на сжатие расходуется энергия извне, производится работа по сжатию. И это повышение давления газа приводит к сближению молекул, уменьшению расстояний между ними, и, если даже энергия молекулы, а также импульс и скорость (как параметры тесно связанные с энергией) остаются постоянными, то столкновения между молекулами происходят намного чаще, чем раньше, а при столкновениях кинетическая энергия одной молекулы возбуждает тепловые (внутренние) колебания другой молекулы.
Последняя способна передавать энергию другим молекулам впоследствии, часть энергии сжатия пойдёт на накопление внутренней энергии, которая ощущается как температура, а часть - на увеличение скорости движения молекул, то есть на увеличение кинетической энергии газа, которая ощущается как сила давления газа.
при адиабатическом сжатии мы заинтересованы изолировать объем, чтобы исключить теплообмен, и выполнять сжатие медленно, чтобы кинетическая энергия успевала постепенно переходить в тепловую, чтобы давление в объеме нарастало равномерно и температура тоже..