Естественные науки
помогите с математикой!!!
Давайте без производных. Использую стандартный прием, который мы когда-то использовали в школе. Он не очень очевидный, так что постарайтесь напрячь голову и понять.
Подсказка такая: пользуясь неравенством (x - y)^2 >= 0, докажИте, что xy <= (x^2 + y^2)/2 для любых действительных x и y, причем, равенство достигается только при x = y. Отсюда, кстати, легко получить стандартное неравенство для среднего геометрического и среднего арифметического двух чисел.
Отсюда при a > 0 имеем 1 = √a * √(1/a) <= (a + 1/a)/2, причем, равенство достигается только при a = 1/a. Дальше постарайтесь справиться сами.
Подсказка такая: пользуясь неравенством (x - y)^2 >= 0, докажИте, что xy <= (x^2 + y^2)/2 для любых действительных x и y, причем, равенство достигается только при x = y. Отсюда, кстати, легко получить стандартное неравенство для среднего геометрического и среднего арифметического двух чисел.
Отсюда при a > 0 имеем 1 = √a * √(1/a) <= (a + 1/a)/2, причем, равенство достигается только при a = 1/a. Дальше постарайтесь справиться сами.
найдём экстремумы функции f(a) = a + 1/a
f`(a) = 1 - 1/a² = 0
(a - 1)(a + 1) = 0
a = ±1
f``(a) = 2/a³
f``(-1) = -2 // максимум
f``(1) = 2 // минимум
Как видим в указанном интервале a ∈ (1; 2) у функции нет перегибов, а в точке a=1 функция принимает минимальное значение и далее монотонно возрастает.
f(1) = 1 + 1/1 = 2
f(2) = 2 + 1/2 = 2.5
Из этого следует, что на интервале 1 < a < 2 верно неравенство 2 < a + 1/a < 2.5, а следовательно верно и менее строгое утверждение 2 < a + 1/a < 3
f`(a) = 1 - 1/a² = 0
(a - 1)(a + 1) = 0
a = ±1
f``(a) = 2/a³
f``(-1) = -2 // максимум
f``(1) = 2 // минимум
Как видим в указанном интервале a ∈ (1; 2) у функции нет перегибов, а в точке a=1 функция принимает минимальное значение и далее монотонно возрастает.
f(1) = 1 + 1/1 = 2
f(2) = 2 + 1/2 = 2.5
Из этого следует, что на интервале 1 < a < 2 верно неравенство 2 < a + 1/a < 2.5, а следовательно верно и менее строгое утверждение 2 < a + 1/a < 3
Арайка Махметова
42 958
Похожие вопросы
- помогите с математикой, плииииз :3
- Помогите с математикой, пожалуйста! Совсем заплутала в этих дебрях.
- Помогите с математикой!
- помогите с математикой!!!умоляю!!!
- помогите с математикой
- Помогите с математикой!!!
- помогите с математикой???
- Почему увлечение математикой — опасно для жизни? В последнее время у подростков замечается увлечение математи...
- 1) Умственные способности развивает математика или занятие математикой? Другими словами — будешь лучше думать, когда ...
- Вот говорят что школьная программа математики всем дана. А вот с высшей математикой как?
Я бы тогда лучше доказательство от противного провёл: допустим существует такое значение а, что первое неравенство остаётся верным, а второе - неверно, тогда найдём эти значения (получим 2 системы неравенств)
1)
1 < a < 2
a + 1/a ≤ 2
решение:
a² - 2a + 1 ≤ 0
(a - 1)² ≤ 0 // квадрат любого числа это число неотрицательное, значит
(a - 1)² = 0
a = 1
Система решений не имеет (a = 1, но одновременно 1 < a - это противоречие)
2)
1 < a < 2
a + 1/a ≥ 3
решение:
a² - 3a + 1 ≥ 0
a² - 3a + 1 = 0
D = 9 - 4 = 5
a₁ = (3 + √5)/2 ≈ 2.618
a₂ = (3 - √5)/2 ≈ 0.382
Рисуем прямую, поставляем значения a = 0, a = 1 и a=2 и видим, что второе неравенство верно при a ≤ (3 - √5)/2 или a ≥ (3 + √5)/2, однако это противоречит условию 1 < a < 2
ДОКАЗАНО!