в чём суть теории моделей (раздела математики)?

Изложение "в двух словах" только усугубит то непонимание, которое у Вас уже сложилось. Попробуйте, познакомившись с мат логикой, освоить теорию формальных языков (полугрупп...). Затем у вас должен возникнуть вопрос, что эти формальные языки описывают, о чём говорят на этих языках. Тут - то модель и профигурирует. То есть язык описывает множество. То есть некое множество и его описание (в широком смысле, не только принадлежность элемента, хотя к этому всё можно свести, а всякие отношения...) и есть модель.
Как всегда в математике, имеются другие подходы, имеющие то же содержание, например, всё покрывается алгеброй и алгебраической топологией, может быть изложено на алгебраическом языке - и это и есть пример модели .

Естественным примером в этом контексте является проблема, связанная с пятым постулатом Евклида о параллельности линий. Веками математикам не удавалось доказать его истинность, пока в XIX веке Бойяи и Лобачевский не построили неевклидову геометрию, показав тем самым, что постулат параллельности не может быть ни доказан, ни опровергнут.

С точки зрения теории моделей, это означает, что система аксиом без пятого постулата допускает несколько различных моделей, то есть в этом случае — НЕСКОЛЬКО ВАРИАНТОВ РЕАЛИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИИ.

Теория моделей посвящена изучению фундаментальной взаимосвязи между синтаксисом и семантикой. При этом, первому в ней отвечает формальный язык, а второму — модель — математическая структура, допускающая некоторое описание этим языком.

В широком смысле, в чем суть моделирования вообще. Математического моделирования.