Какие разделы математики должен хорошо знать грамотный инженер-технолог машиностроительного производства?

Да почти всё то, что проходят в институте.. .
Понятно, что надо уметь дифференцировать и интегрировать. Интегрирование необходимо для расчёта моментов инерции тел и сечений, дифференцирование - вообще для всего.

Надо уметь решать дифференциальные уравнения, в том числе и уравнения матматической физики (в частных производных) . Без этого никуда в теории колебаний, а ведь расчёт устойчивости конструкций и их колебаний, или расчёт распределения температур по уравнению Лапласа - всенепременнейший компонент проектирования сложной системы. Да и не сильно сложной тоже.

Надо знать теорию вероятностей, потому что это и расчёт надёжности изделий и систем, и обработка результатов испытаний, и даже расчёт потребности в тех или иных типоразмерах, если выпускается серия однотипных изделий.

Сейчас попробую сообразить, какие не очень нужны.
Топология. Она имеет некие применения к терверу (который нужен) , но можно и без нее как-нибудь обойтись.
Дискретная математика не очень нужна. Полугодового курса, наверное, хватит. Какой-нибудь универсальный многополюсник Лупанова Вам не особо нужен. И конечные автоматы тоже не очень-то нужны, если только чуть-чуть.
Дифференциальная геометрия не очень нужна. Она хороша для физиков где-нибудь в ОТО.
Статфиз не очень нужен. Он для газов хорош, у Вас газов мало.
Банаховы пространства тоже не сильно нужны. Хватит Гильбертовых.
Теория групп не очень нужна. Линейное пространство сможете определить - ну и хватит.

В общем, фиг его знает. В стандартные несколько лет все равно не уложишь все науки. Кто-то ведь учебный план долго и упорно составлял. Просто поверьте в их квалификацию, вариантов всё равно нет.