Как рассчитать высоту безопасную для прыжка зная размер парашюта и вес спортсмена?

время прыжка следует разделить на два отрезка: первый - до полного раскрытия парашюта и второй - после полного раскрытия парашюта. рассмотрим движение на втором отрезке времени. уравнение движения ma=mg-F (1), где F=1/2*crSv^2 - сила сопротивления воздуха. в этой формуле с - коэффициент сопротивления зависящий от формы тела и его положения при падении, r - плотность воздуха, S - площадь поперечного сечения тела перпендикулярное вектору скорости, v - скорость тела. ускорение a=dv/dt (2), а скорость v=dx/dt (3). из (3) dt=dx/v, подставляя это в (2) имеем a=v*dv/dx (4) введем обозначение 2mg/crS=a^2, тогда с учетом этого и (4) уравнение (1) принимает вид v(dv/dx)=g(1-v^2/a^2) или v*dv/(a^2-v^2)=2g*dx/a^2. решаем это диф уравнение и находим зависимость скорости падения (при раскрытом парашюте) от пройденного при падении расстояния х. v=a√[1-e^(-2gx/a^2)] (5). отсюда видно что при возрастании х скорость стремится к некоторой установившейся и дальше не растет. величина установившейся скорости v(уст) =a=√[2mg/crS] (6) для парашютиста с=1,4, площадь парашюта 36м^2, плотность воздуха 1,3кг/м^3. пусть масса парашютиста m=80кг. по формуле (6) v(уст) примерно равна 5м/с. теоретически она достигается при падении с бесконечной высоты. но легко показать что при падении с конечной высоты скорость очень быстро становится мало отличимой от v(уст). например v=0,99v(устан) при падении с высоты примерно h2=a^2/2g*ln[(a^2-(0,99a)^2)/a^2]=5м.
вернемся к первому отрезку времени, когда парашют еще не раскрылся. оценим какой путь пролетает парашютист до момента раскрытия парашюта. будем считать что парашютист свободно падает в течении 3с. путь пройденный за это время h1=gt^2/2=44,1м и тогда весь путь примерно 50м. это высота 16 этажного здания. такой высоты и даже меньшей были очень популярные в 20 веке парашютные вышки.

С первым отрезком времени можно было и подробнее. Где-то читал (наверное, найдётся и в Интернете), что при прыжке с нераскрытым парашютом максимальная скорость получается около 55 м/с; отсюда можно составить "экспоненциальное" уравнение и для этого участка в численных выражениях. Думаю, самое сложное - процесс раскрытия парашюта, в течение которого происходит торможение. Об этом участке я пока ничего не "рассуждал". Вообще, справлюсь ли?..

Такое рассчитывать не приходится. Обычно приходится рассчитывать площадь парашюта зная вес спортсмена. А вот по части высоты, в любом случае парашют раскрывается на высоте около километра, и менее. Выше раскрывать нет смысла, а очень низко, не успеет раскрыться. И высота в любом случае будет максимальная около 4 км, выше просто тяжело дышать.