Как доказать, что ось времени перпендикулярна любой пространственной прямой?

Доказывают утверждения на основании определений/аксиом и уже доказанных утверждений.

А у тебя есть "че-то там интуитивно понятное", что до тебя люди наверняка уже аксиоматизировали/доказали. Что делать? Ознакомиться с их трудами.

Что искать: псевдоевклидово прострнаство (в частности, пространство Минковского), ортонормированный репер в нем.
Выбери ортонормировнный репер, соответствующий какой-нибудь ИСО, через линейные комбинации базисных векторов определи свою т. н. "ось времени" и "пространственную прямую".

Только не перепутай с пространственноподобностью и времениподобностью, которые не зависят от выбора репера (в физике - от выбора ИСО), а то никакой ортогональности относительно индефинитного скалярного произведения не докажешь.

Это не надо доказывать. Это достаточно просто вообразить. Это совершенно абстрактные понятия, и ты имеешь полное право вертеть ими как хочешь.

Для начала найди определение "оси времени". Или сам сочини

Если бы это было не так, то летя с одинаковой скоростью в разных направлениях можно было бы преодолеть разные расстояния :)

Не надо спешить с доказательством, не прочитав определения (или не создав теорию - например, специальную теорию относительности).

Представьте, что вы - Эйнштейн и пишете СТО, "К электродинамике ...", или, например, Ритц, чья эмиссионная гипотеза не выдержала проверки.

Ход мыслей другого человека проследить сложно, но мы попробуем поставить себя на место другого человека, забыв, что Эйнштейн и Ритц были учениками Минковского.

Вы можете ЗАХОТЕТЬ, чтобы ваша т. н. "ось времени" инерциальной системы отсчета была бы перпендикулярна любой пространственной прямой этой же системы отсчета, основываясь на том факте, что все направления для физических законов в ИСО равноправны.
При условии, что ортогональность вообще окажется определена в используемой мат. модели теории.

У Эйнштейна она оказалась определена, а у Ритца - нет.