Почему шарик с горячим воздухом улетающий в небо будет расширяться по мере поднятия ?

Потому, что в атмосфере Земли, с поднятием на высоту, температура и плотность воздуха уменьшаются. В следствии чего уменьшается и давление. Так как в шарике горячий воздух, то он менее плотный и легче окружающего, значит шарик, скорее всего, начнёт всплывать вверх. Поднимаясь, он будет испытывать меньшее внешнее давление и ему придётся расширяться, что будет понижать внутреннее давление, до тех пор пока давление резиновой оболочки и наружного воздуха не сравняются с его внутренним. При этом, расширение будет понижать внутреннюю температуру шарика и на некоторой высоте она приблизится к окружающей. При этом внутреннее давление шарика уравняется наружным давлением и давлением оболочки. Расширение прекратится. Выталкивающая сила уравняется весом шарика и подъём закончится. Дальнейшее выравнивание внутренней и наружной температур приведёт к началу сжатия шарика, под действием давления оболочки и началу снижения. При снижении, внутренняя температура начнёт повышаться, за счёт повышения внешней, но это не приведёт к превышению внутренней температуры над температурой внешнего воздуха, поэтому объём шарика будет уменьшаться, под действием давления оболочки, так как давления внутри и снаружи шарика выровняться, в следствии равенства температур, и снижение продолжиться.

Давление

Чем выше тем больше места хочется занять шарику. Когда человек стоит на горе и видет широкий горизонт ему хочется развести руки в стороны и запеть-Широка страна моя родная. А у шарика рук нет, а петь хочется.

На высоте давление меньше

Согласно уравнению Клапейрона: PV=RT при Т=conct уменьшение давления (а в верхних слоях именно так) приводит к увеличению объема.

Если температура поддерживается постоянной, то и давление внутри оболочки при постоянном объёме постоянно. Если внешнее давление падает, то возникает разность давлений, которое будет растягивать оболочку. Вот она и будет расширяться по мере возможности - отчего нет-то?
Странно, если б было наоборот.

с гелием будет расширяться

Он не будет расширяться . Он будет остывать, а объём его будет наоборот уменьшаться и в конце концов он полетит вниз .