Алгебра. Кольца. Помогите с заданием.

По сложению кольцо является группой.
Т. к. 3 - простое число, то труппа порядка 3 с точностью до изоморфзима существует ровно одна, с точностью до изоморфзима это С3.

Ну и давайте ее элементы обзовем 0, b, c, таблица сложения у нас взята из C3 (любая перестановка элементов C3, сохраняющая нейтральный элемент, является автоморфизмом C3, поэтому таблица сложения определена единственным образом).

Теперь давайте там достроим умножение, чтоб получить требуемое кольцо.
Т. к. 0 по свойству кольца - поглощающий элемент по умножению, то с ним все понятно, для нуля построили.

Предположим, хотя бы в одной клетке таблицы умножения есть не ноль.
bc = b(b + b) = b^2 + b^2;
bc = (c + c)c = c^2 + c^2
cb аналогично, поэтому bc = cb, полугруппа по умножению коммутативна;
Кроме того, т. к. по сложению наше кольцо явлется группой C3, то b^2 = c^2, bc != b^2.
b^2 = b(c + c) = bc + bc

Из соотнощений выше видно, что ни одно из четырех произведений элементов множества { b, c } не равно нулю (в противном случае все произведения обращались бы в ноль, а мы предположили обратное).
Если b^2 = b, то bc != b => bc = c, т. е. b является единицей кольца, а по условию кольцо у нас без единицы.
Если b^2 = с, то c^2 = c, а дальше смотри предыдущее предложение.

Таким образом, в таблице умножения у нас во всех клетах нули.
Итого - единственным способом, C3 по сложению и произведение любых элементов равно нулю.

По-моему, нисколькими нельзя.

Это школьная тема? Я в 2003 школу закончил, по алгебре лучшим был, но такого не было у нас