Объясните простыми словами: что обозначает логарифм без основания и как его понять? Я далек от математики.

lg - десятичный в немецко-русской традиции
log - десятичный в англо-американской традиции
ln - натуральный, по основанию е. в любой стране

А такого нет.
Есть Ln - логарифм по основанию "е" и Lg - логарифм по основанию 10.

И в том, и в другом случае основание ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ обозначением функции.

Означает, что написанное выражение верно при ЛЮБОМ основании логарифмов.

Много чего может означать.
lg - логарифм по сонованию 10
ln - натуральный логарифм, т. е. по сонованию e
log в буржуйских источниках часто может означать натуральный логарифм

Возможны случаи, когда основание вообще не принципиально - где-нибудь в оценке асимптотической сложности алгоритмов, например.

lg логарифм по основанию 10 (по сути сколько знаков в числе)
ln логарифм по основанию экпонента, интересен только тем что у экпоненты в степени производная равна себе. потому часто вылазит в дифурах

У логарифма всегда есть основание (выше уже описали, повторятся не буду).
Суть логарифма - это в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить указанное число.
Например Lg 100 (логарифм по основанию 10 от 100) выдаст 2, т. е. при возведении основания 10 в степень 2 получим 100. Математики ввели эту функцию чтобы упрощать уравнения.

Логарифм без основания - это либо натуральный логарифм ln (у которого основания экспонента) либо десятичный lg (у которого основание 10). это форма записи такая. А вообще, основание у логарифма есть всегда