Как доказать, что если есть 100 разных шестеренок, то скорость вращения самой маленькой не зависит от наличия

Напиши формулу передаточного числа - сократи одинаковые члены... и получишь искомое.
i1=z1/z2
i2=z2/z3
i3=z3/z4

i=i1*i2*i3=z1/z2*z2/z3*z3/z4=z1/z4 (z2 и z3 попарно сокращаются - курс Арифметики за 2-й класс средней школы)

Кстати, в технике, такие "промежуточные" зубчатые колёса называют "паразитными" и неспроста - только меняют направление вращения (либо же расположение осей), но никак не передаточное отношения.

10-20-30..-130 зубей=последняя будет почти стоять, а 10+130= уменьшенной скорости просто

линейная (то есть - количество зубьев в секунду) - одинакова.

зависит

Никак не доказать. Это из разных опер. Пояснение:
Никому не нужно доказывать, что одно и то же передаточное число можно получить набором сомножителей (шестеренок), или, взяв это число сразу.
Например 1000 (это сразу) = 10х10х10 (это с промежуточными шестеренками.
НО!
Получить передаточное число сразу невозможно (практически) в большинстве случаев. Исходить следует из того, что размер зуба у всех шестеренок одинаковый. Меняется только их число. Уменьшать размер зуба нельзя сразу по нескольким соображениям. Из которых есть самое тупое.):
Следовательно, если есть желание получить требуемый к-т передачи одним махом, диаметр маленькой шестеренки в нашем примере должен быть в 1000 раз меньше, чем диаметр большой шестерни. В большинстве практических реализаций поставить три вместо одной - без вопросов! Хотя, трение увеличивается. - Не до жиру. Там вообще много соображений.
Например, на одной из шестеренок можно сделать всего 1 зуб. Тогда к-т передачи может достигнуть конструктивного максимума.
НО!
Проблематично передать ВСЕ требуемое усилие всего одним зубом. - Весьма велик должен быть. ): Проиграешь не меньше, чем "выиграешь". К тому же, характер входа в зацепление и выхода из него всего для одного зуба имеет ударный характер. На практике используется паллиативное решение с несколькими косыми зубьями. Они не входят в зацепление и не выходят из него. Наиболее известен такой подход в тн червячном редукторе.
Кстати!
Относительно большое передаточное число используется в относительно "древнем" механизме пружинных часов. С всего парой шестеренок их пришлось бы возить отдельно.
):