Проще всего через площади.
Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b и приставим к нему ещё три таких же прямоугольных треугольника так, как показано на левом рисунке.
Для наглядности два треугольника покрашены красным, а два других - синим. Красный и синий треугольник абсолютно одинаковы.
В центре образовался квадрат (зелёный), сторона которого равна гипотенузе с. Значит, площадь этого квадрата равна с²
Тем самым мы замостили квадрат со стороной a + b (центральный рисунок) и площадью (a + b)²
Теперь замостим этот же квадрат иначе. Соберём два треугольника в левом нижнем углу, приставив их друг к другу гипотенузами, а два других - в верхнем правом (правый рисунок). Остались незамощёнными ещё квадрат со стороной a и квадрат со стороной b. Их площади равны, соответственно, a² и b².
Поскольку мы замостили один и тот же квадрат двумя разными способами, то сумма площадей всех фигур на левом рисунке равна сумме всех площадей на правом рисунке. Удалив из этой суммы по четыре одинаковых площади исходного прямоугольного треугольника (двух синих и двух красных), получим, что слева останется с², а справа - a² + b². А это и есть теорема Пифагора. Значит, с² = a² + b², что и требовалось доказать.
Красиво, правда?
