Как «белым карликам» удаётся светить, хотя они утратили ядерное топливо? Что происходит внутри этих звёзд?

Белый карлик продолжает светить за счет огромных запасов тепловой энергии, на расход которой могут уйти миллиарды лет. Светимость белых карликов, однако, очень низкая по сравнению с Солнцем.
По мере остывания вещество в ядре белого карлика утрачивает свойства газа и становится более похожим на жидкость. Колоссальное давление сжимает атомы настолько сильно, что их связи начинают разрываться. В результате освободившиеся электроны образуют вырожденный электронный газ и атомные ядра, которые, утратив необходимое для свободного перемещения количество энергии, начинают образовывать кристаллическую структуру, аналогичную структуре замерзшего водорода.
И всё же недра белого карлика остаются очень горячими, с температурой около 10 миллионов градусов. А вот температура внешнего газового слоя звезды, образующего как-бы атмосферу, на порядки ниже и составляет несколько тысяч градусов. Что же касается состава кристаллического ядра, то он будет зависеть от результатов нуклеосинтеза в недрах материнской звезды. Обычно его продуктами в звездах, подходящих для образования белых карликов, становится углерод и кислород.
В таком состоянии сияющего кристалла белый карлик продолжит свое существование миллиарды лет, постепенно остывая и краснея, пока наконец не перестанет излучать видимый свет и не станет черным и холодным.
https://zen.yandex.ru/media/popsci/kak-belym-karlikam-udaetsia-svetit-hotia-oni-utratili-iadernoe-toplivo-chto-proishodit-vnutri-etih-zvezd-5e673eb5d7d41210f330974c

Там вместо водорода горит гелий. https://ru.wikipedia.org/wiki/Белый_карлик

Бе́лые ка́рлики — звёзды, состоящие из электронно-ядерной плазмы, лишённые источников термоядерной энергии и слабо светящиеся благодаря своей тепловой энергии, постепенно остывая и краснея.

Ничего особого там не происходит.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Белый_карлик

Это "окурки" звезд главной последовательности не очень большой массы (типа Солнца), недостаточной, чтобы в конце жизни стать нейтронной звездой. Ничего особенного, как сказано выше, там не происходит, но в составе тесной звездной пары иногда преподносят сюрпризы, вплоть до вспышки сверхновой. Но это уже другая история.

Я могу тебе посоветовать послушать Попова
https://www.youtube.com/watch?v=rNePnwf1iSw