что такое натуральный логарифм? если можно на примерах СПАСИБО

натуральный логарифм ничем не отличается от любого другого. Можно вместо "натурального" сказать логарифм по основанию е. Просто логарифмы по основанию 10 и по основанию е используются в математике гораздо чаще, чем логарифмы по другим основаниям, поэтому, для краткости, они и имеют собственные названия и свою запись.

В общем, если вы знаете, что такое логарифм, то никаких проблем с пониманием, что такое натуральный или десятичный логарифм не должно быть. Например, возьмите умножение. Если бы математики называли умножение на 10 десятичным умножением, а умножение на е - натуральным умножением, вряд ли бы у вас возник вопрос, что такое натуральное умножение? Это было бы просто умножение на какое-то конкретное число. Тоже и для логарифмов. Натуральный логарифм это просто один конкретный логарифм - логарифм по основанию е.

Другой вопрос, почему основание е или основание 10 являются какими-то особыми для логарифмов, что для них придумали свои названия и обозначения.

Десятичный логарифм имеет особое значение для вычислений, когда не было калькуляторов таблицы десятичных логарифмов и логарифмические линейки были самым простым способом производить сожные вычисления. А для десятичных логарифмов такие таблицы были самыми простыми. Поэтому применялись именно они.

Натуральный логарифм, так же как и экспонента имеет особое значение в функциональном анализе, ввиду их особых свойств - ln x имеет простую производную - 1/х (а обратная к нему функция - экспонента, вообще, при дифференцировании не меняется) .
К тому же, т. к. экспонента и натуральный логарифм, как оказалось, очень часто являются хорошим проиблежением для многих процессов в природе и человеческом обществе (например, практически все способности человека имеют распределение среди людей, которое называется "нормальным распределением" и которое математически выражается через экспоненту) , натуральный логарифм очень часто возникает в математической статистике и во всех науках, которые ее используют.

Я ответил Вам про золотое сечение. Здесь добавлю, что большинство природных процессов развиваются по экспоненте (носят экспоненциальный характер) . Например высыхание почвы после дождя - закон изменения влажности это спадающая экспонента. Нарастание численности особей биологического вида, размножение бацилл в теле, , тоже происходит по нарастающей экспоненте. ВСЕ природные процессы экспоненциальны поэтому и вводят натуральный логарифм как функцию обратную показательной от экспоненты, что удобнее чем десятичая система счёта. Удобнее считать целые степени чем дробные если не вводить натурального логарифма.

Только, в основании функция e - экспонента

ln - это натуральный логарифм, а точнее log с основанием 10