Если есть такие явления, которые наука не в состоянии объяснить, например бесноватость, значит наука не претендует

Нет не претендует. На высшую истину никто не претендует. Даже религия.
Наука строит модель, а именно т. н. эффективную теорию, которая наиболее полно соответствует наблюдениям и экспериментам.

Да, наука никогда не претендовала на всезнание, этим грешат только религии. Но в отличие от религий, наука все же кое-что ЗНАЕТ. И знания ее со временем растут.

Бесноватость — Одержимость, полное и всеобъемлющее подчинение разума человека чему-то, в некоторых религиях: состояние, в котором человек подчинен одним или несколькими духами, богами, демонами.
Это вопрос к церковникам: каким образом им удалось довести человека до подобного состояния?
Наука это может объяснить, но не может человеку поменять мозги.

Бесноватость в науке называется одержимостью. Психиатрией она достаточно хорошо изучена и выделена в отдельную категорию психических болезней.
"В медицине одержимость рассматривается, как симптом психозов, вид бреда либо форма патологической психической реакции на определенные факторы окружающей среды. В состоянии одержимости человек теряет чувство собственной тождественности и действует так, будто подчинен чуждой, враждебной индивидуальности."

В психушках не лечат?

Научный метод - один из способов изучения. Изучения чего угодно (при условии, что получится применить научный метод). Этот метод тоже допускает ошибки, но лучше него пока ничего не придумано. Составлять свое мнение о чем-либо можно и без научного метода. Но если научный метод для предмета изучения применим, то лучше основываться на его результатах (особенно, если речь о чем-то важном).
А какие альтернативы вы могли бы предложить научному методу?
Это те же методы, которые являются частью науки, только менее строгие. Тут вы будете платить строгостью метода и его достоверностью за простоту его применения.:
Вместе корректного эксперимента - метод проб и ошибок, метод наблюдения.
Вместо формального доказательства - рассуждения разного уровня строгости.
Вместо статистического анализа - поиск нескольких фактов без оценки репрезентативности.
И так далее...
Так вот, о вашем вопросе. Научный метод не претендует на истину. Это просто инструмент. Пока что лучший из имеющихся. Пробуйте заменить его чем-то, если хотите, но все остальное имеет еще меньше оснований претендовать на истину)

1) Бесноватость наука не изучает
2) Наука НЕ претендует на высшую истину. Да и вообще на истину не претендует тоже.

что такое "бесноватость"?
психические заболевания объяснимы,
вспышки гнева объяснимы, что ещё надо-то?