Самым простым языком объясните мне, что такое интеграл и где применяется и что такое дифференциал и где применяется?

Чисто на пальцах:

Интеграл изначально - это некая площадь под гладкой функцией. Применяется он тогда, когда надо посчитать некую, грубо говоря, сумму. Например, тебе известно время движеня некоторого тела и скорость тела в зависимости от времени, надо найти пройденное расстояние. Интегрируешь скорость по времени, подставляешь временной промежуток - вуаля. Ну например

v(t)=v0+at - известная формула равноускоренного движения. Интегрируем ее и получаем, что

s(t)=s0+v0t+at^2/2 - тоже известная школьная формула, но теперь ты знаешь, откуда она взялась.

Бывают еще всякие криволинейные интегралы, градиенты и прочая чушь, но смысел всегда один - мы суммируем некие бесконечно малые величины и получаем некий конечный результат. Собираем горошины в кучку и получаем мешок гороха. Или два. Но суть в том, что гороха, казалось бы, до хрена и больше, а мешков получается некоторое конечное количество.

Школьное определение интеграла через первообразную является не определением, а свойством интеграла. Такие дела.

Дифференциал - обратная картинка. Он показывает мгновенную скорость изменения функции в некоторой точке. Т. е. насколько изменится функция, если совсем чуть-чуть изменится аргумент. Спойлер: аргумент изменится на 0, и функция изменится на 0, ясен пень, но это соотношение 0/0, опять же, вполне может дать конечный результат. Поэтому он так и обозначается - df(x)/dx. Используется он там, где нас интересует эта самая скорость процесса. Возьмем ту же мгновенную (!) скорость :

v(t)=ds(t)/dt - и сие верно вообще для любого движения. Подставь туда формулу s(t) сверху, опять получишь, что v(t)=v0+at. Что логично.

Ну и через эти соотношения описываются чуть ли не все физические явления. То есть практически любое явление можно описать дифференциальным уравнением. Проблема только в том, что такое уравнение не всегда можно решить в общем виде. Но всегда - в численном. Что, собссно, и позволяет нам отправлять на Марс всякую праздношатающуюся фигню, например.

Школьное определение производной через дифференциал является не определением производной, а свойством дифференциала. Хотя и в меньшей мере, чем с интегралом.

Деточка, а ты вообще знаешь, что мир вокруг нас устроен, к несчастью и к твоему глубокому удивлению, ОЧЕНЬ СЛОЖНО? И многие (очень и очень многие!) вещи в нем ПРОСТО объяснить нельзя? И именно для того, чтобы попытаться (только попытаться!) понять некоторые подробности устройства окружающего мира люди много лет своей драгоценной жизни тратят на изучение таких наисложнейших наук как математическая статистика, квантовая механика, физическая химия, молекулярная биология и сотен других? И ты полагаешь, что все эти науки в красочных деталях можно объяснить первокласснику на пальцах?

Ну, если в простом изложении, то интеграл это сумма бесконечного количества бесконечно малых величин, вычисляемая по определенным правилам, зависящих от вида этих величин. Применяется, естественно, в математике, и очень часто.

Интеграл - сумма кучи бесконечно малых частей. Допустим, ты хочешь посчитать площадь комнаты. Всё просто - умножаем длину на ширину! Вот только если комната очень кривая, это не даст результата. Как считать? Ну, ты можешь посчитать отдельно вот этот угол, вон ту выемку у балкона, вон тот уголок где ссыт кот, вон под той тумбочкой, и сложить всё вместе! Вот это оно и есть. Ты разбиваешь что-то сложное на кучу очень мелких частей и складываешь все вместе. Это и есть интегрирование - нахождение суммы чего-то сложного через суммирование отдельных очень мелких частей. Рассматривать разницу между производной и дифференциалом я тут не буду, поэтому условно объединим их - это зависимость одной величины от другой, dx/dy. Если две штуки зависят друг от друга, то так мы узнаем на сколько изменится одна если изменится другая. Собстна, всё. Где применяется? Да везде. Допустим, в электронике. Как посчитать сколько потратилось электроэнергии, если кто-то постоянно что-то включает и выключает? Потребление скачет, поэтому мы берём интеграл по времени - то есть складываем потребление за каждый момент в течении всего времени, и получаем общее с учётом всех скачков. Дифференциальная форма законов - вообще шик. Плюс, многие процессы в физике есть реакция на изменение, а тут не использовать дифференциал никак нельзя. Хотя бы для того же дифференциального сопротивления нелинейных элементов.

Самое примитивные объяснения: интеграл это математический метод вычисления площадей или объёмов фигур ограниченных кривыми линиями, дифференциал это бесконечно малое изменение какой-либо величины в пространстве или времени.

все эти интегралы и производные - это привет механике. ноги у них растут из восстановления пройденных путей по скоростям и наоборот. спасибо Ньютону с Лейбницем.

производная - это зная, как менялись показания одометра, надо получить показания спидометра.
показания спидометра, вычисленные из показаний одометра - это и есть производная показаний одометра.

интеграл - наоборот, по известным показаниям спидометра за какой-то промежуток времени позволяет узнать, как изменились показания одометра.
прирост показаний одометра - это интеграл показаний спидометра за это время.

вообще, наверно, лучше всего про эту лабуду написано в детской энциклопедии. я не шучу. том 3 "Числа и фигуры. Вещество и энергия", 1959 год. тогда умели рассказывать понятно.

Сори чувак, 11 класс средняя школа. Мы только на производной