Как найти все корни данного уравнения?

Представить для начала обе части в показательной форме.
У сопряжённых чисел модули равны, а аргументы отличаются знаком (кроме целого кратного 2π)
У степени числа модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени
Получится
r*exp(-iφ) = i*r^5*exp(5iφ)
Решение z = 0 очевидно. Учтём его в окончательном ответе и найдём остальные решения, при которых z не равно 0. Тогда можно разделить обе части на r, и потом умножить на exp(iφ). Тогда получится:
1 = i* r^4*exp(6iφ)
Разделим теперь обе части на i с учётом того, что 1/i = -i:
r^4*exp(6iφ) = -i = exp(-iπ/2)
Из равенства чисел следует равенство их модулей:
r^4 = 1, откуда r = 1
А аргументы отличаются на 2πk, где k - целое:
6φ = -π/2 + 2πk;
φ = -π/12 + πk/3.
Таким образом, уравнение имеет семь различных решений: 0 и все решения вида
cos(-π/12 + πk/3) + isin(-π/12 + πk/3), где k пробегает значения от 0 до 5 (дальше решения будут повторяться)
Чтобы представить эти решения в алгебраической форме, удобно представить углы в градусах:
cos(-15° + 60°*k) + isin(-15° + 60°k)
Далее, нужно найти. чему равны cos 15° и sin 15°. Сделать это можно по формулам сложения, cos15° = cos45°cos30° + sin45°sin30°; sin15° = sin45°cos30° - cos45°sin30°.
Запишу окончательные выражения: сos15° = (√6 + √2)/4; sin15° = (√6 -√2)/4;
Таким образом, первое решение (при k = 0) - это:
z1 = (1/4)(√6 + √2) - (1/4)(√6 - √2)i
Второе решение соответствует углу 45°
z2 = √2/2 + (√2/2)i
Третье решение соответствует углу 105°, при этом cos105° = -sin15°; sin105° = sin75° = cos15°
z3 = (1/4)(√2 - √6) + (1/4)(√6 + √2)i
Четвёртое соответствует углу 165°; cos165° = -cos15°; sin165° = sin15°
z4 = -(1/4)(√6 + √2) + (1/4)(√6 - √2)i
Пятое решение соответствует углу 225°; cos225° = -cos45°; sin225° = -sin45°
z5 = -√2/2 - (√2/2)i
Шестое решение соответствует углу 285°; cos285° = cos75° = sin15°; sin285° = -sin75° = -cos15°
z6 = (1/4)(√6 - √2) - (1/4)(√6 +√2)i
И седьмое решение - это z7 = 0.

Все решения (кроме z = 0, которое проверяется элементарно) можно проверить непосредственно, записав их в виде:
z = exp(i(-15° + 60°k))
Тогда z cопряжённое = exp(i(15° - 60°k))
z^5 = exp(i(-75° + 300°k)) = exp(i(-75° + (360° - 60°)k)) = exp(i(-75° + 360°k - 60°k)) = exp(i(-75° - 60°k))
iz^5 = exp(i*90°)*exp(i(-75° - 60°k)) = exp(i(90° -75° - 60°k)) = exp(i(15° - 60°k))
Таким образом, z сопряжённое, действительно, равно iz^5.

Это не уравнение.