Задача про мышей.

Если известно, что для трех мышей точка встречи может измениться при перестановке двух, то построить контрпример для четырех можно достаточно легко.

Пусть тогда у нас есть мыши 1, 2, 3 с заданными начальными координатами.
При перестановке (1 2 3) мыши встречаются точке A;
При перестановке (2 1 3) мыши встречаются в точке B, отличной от A.

Раздвоим мышь 1 на мышей 1a и 1b с теми же начальными положениями, которое имеет мышь 1.
При перестановке (1a 1b 2 3) мыши встречаются в точке A;
При перестановке (2 1a 1b 3) мыши встречаются в точке B, отличной от A.
Перестановка, превращающия (1a 1b 2 3) в (2 1a 1b 3), является четной.

Если еще аккуратно доказать, что точка встречи непрерывно зависит от начального положения всех мышей, то совпадения мышей в построении контрпримера можно избежать.

У вас всё равно получится набор спиралей, только деформированных.
Попробуйте лучше другие виды наведения, например - пропорциональное.

Думаю, что доказательство надо построить по методу индукции, как это делается, например, в знаменитой задаче про трех испачканных дамах в купе поезда. Эта задача обобщается на любое число N дам.
То есть сначала доказываем задачу для 2-х мышей и для 3-х мышей.. А потом сводим задачу для 2N мышей к задаче для 2N-2 мышей. И также задачу для 2N+1 мышей к задаче для 2N-1 мышей.