Случайным образом кидаем на плоскость три точки как три вершины треугольника. Какой получится: остро- или тупоугольный?

КМК, задача поставлена некорректно. Не бывает равномерного распределения на плоскости.

Но, если хотите, можно на досуге тремя точками равномерно и независимо накакать в квадрат и, например, в правильный треугольник (и сравнить результаты).
Квадратами и правильными треугольниками плоскость легко замостить, да они и сами правильные.

Хотите - по Монте-Карло проверю.

Вообще, если мы из большой порции двумерного больцмановского газа случайно выберем три частицы, то результат, кмк, будет сильно зависеть от формы сосуда, поэтому и думаю, что задача поставлена столь некорректно, что починить условие нельзя. Но я еще не проверил)

Примерно 50% на 50%.

300%
Потому что любой тупоугольный одновременно дважды остроугольный...

Вероятность получить остроугольный больше. Тупоугольный возможен в небольшом диапазоне вариантов, когда две стороны меньше третей. Количество же вариантов остроганного гораздо больше. Я бы сказал "бесконечность". Но для тупоугольного тоже "бесконечное" число вариантов, но его бесконечность меньше чем, у остроугольного.

Может, я что-то не так делаю, но у меня получается, что вероятность выпадения тупоугольного треугольника равна единице!
Рассуждал так: две точки А и В займут какое-то положение на плоскости, между ними какое-то конечное расстояние (обозначим d). Введём систему координат, ось x направим вдоль отрезка АВ (например, по направлению от А к В), ось у - перпендикулярно АВ через точку А. Рассмотрим две прямые: x = 0 (это ось у) и x = d. Тогда если третья точка попала между этими двумя прямыми, то треугольник остроугольный, если вне образованной прямыми области, то тупоугольный. Ну и если на одну из прямых, то, соответственно, прямоугольный.
Но область между прямыми имеет конечную ширину (равную d), а область вне прямых - бесконечную. В нашем случае нас интересует только абсцисса третьей точки. И если эта абсцисса - из числового отрезка конечной длины, треугольник остроугольный (либо прямоугольный, если она совпадает с абсциссой границы отрезка), в остальном случае - тупоугольный. Но длина отрезка ничтожно мала по сравнению с длиной части прямой вне отрезка.
Даже если третья точка попала внутрь полосы, всё равно может получиться неостроугольный треугольник (если высота треугольника достаточно мала по сравнению с основанием - рассматриваемым отрезком, угол против этого основания может быть ещё и тупым, либо прямым, не только острым).
Поэтому геометрическая вероятность получить остроугольный треугольник (и тем более прямоугольный), равна 0, а тупоугольный, соответственно, 1.

Поскольку в вопросе нет четкого определения "Случайным образом"
Он бессмысленен и разумного ответа не может быть.

Кости, три штуки бросай, проведи опыт.

В самом Вашем вопросе недочёт. Например, какая плоскость, Евклидова или Лобачевского?

Если в Евклидовой, то остроугольных больше

Зависит от размера плоскости.
На бесконечной плоскости с вероятностью 1 будет тупоугольный треугольник.
На конечной плоскостью с вероятностью больше 0.5 будет остроугольный треугольник.

200% и того, и того.