Естественные науки

Для любого конечного числа прямых на плоскости существует точка, не принадлежащая ни одной из них.

Это утверждение представляется верным. Но что это за утверждение? Аксиома или теорема?

Если это аксиома, то почему она не входит в список аксиом планиметрии?
Есть аксиома, гарантирующая существование точек, не принадлежащих любой отдельно взятой прямой на плоскости, но отсюда никак не следует это утверждение.

Если это теорема, то почему её доказательство не приводится в школьных учебниках, и вообще где бы то ни было? И как можно это утверждение доказать?
Сергей Кашин
Сергей Кашин
51 262
Это теорема. А нет её в учебниках, потому что ей там нечего делать: теорем можно вывести бесконечно много, а в учебниках публикуют лишь те из них, которые имеют какое-то значение для решения каких-либо задач.
Если эта теорема выводима из аксиом планиметрии, то её доказательство скорее всего опирается на аксиому 2.2 "Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.", имея в виду то, что при делении любой части плоскости прямой все равно будут получаться части плоскости, в каждой из которой есть точки, не принадлежащие этой прямой.
Кенжегали Алланазарулы
Кенжегали Алланазарулы
31 768
Лучший ответ
Это теорема. Доказательство элементарно. Сводится к тому, что мощность множества действительных чисел больше мощности множества рациональных чисел (счетного множества). Тем более больше мощности конечного множества.
СО
Самсонова Оксана
65 100
Елена *** Такое доказательство требует слишком много дополнительных предположений, далеко выходящих за аксиомы планиметрии (для начала построить множества действительных и рациональных чисел). Но для доказательства достаточно аксиом принадлежности и линейного порядка (из аксиоматики Гильберта).
Это теорема.

"Есть аксиома, гарантирующая существование точек, не принадлежащих любой отдельно взятой прямой на плоскости, но отсюда никак не следует это утверждение".

К этой аксиоме нужно добавить аксиому существования прямой, проходящей через две заданные точки, и аксиому, гарантирующую существование на прямой других точек, кроме двух выбранных (это аксиомы принадлежности и порядка в аксиоматике Гильберта). Тогда всё получится. Ну а в школьных учебниках вообще не так уж много - только самое основное и важное.
Алмаз Галиев
Алмаз Галиев
41 616
Сергей Кашин Пожалуй, Вы правы.

Тогда получается так. Есть прямая на плоскости. Аксиома гарантирует существование точки вне её. Таким образом, теорема верна для n = 1 (если её сформулировать так, чтобы она зависела от n).
Пусть она верна для некоторого n = k. На основании этого, существует точка M, не принадлежащая ни одной из k прямых. Проведём произвольным образом k+1-ю прямую, отличную от них (обозначим её a). Могут представиться два случая. Либо она проходит через M, либо нет. Если она не проходит, то проводим ещё одну прямую b, проходящую через M. Очевидно, она отлична от остальных прямых и потому пересекает их в конечном числе точек. Значит, на этой прямой есть точка, не принадлежащая ни одной из остальных.
Сергей Кашин Если a проходит через M, то берём любую точку N вне a и проводим b = MN, для которой проводим те же рассуждения. В любом случае, получаем, что теорема верна для n = k+1 и потому, согласно мат. индукции, она верна для любого n.
Все равно, что :
-на любой плоскости существует точка.
Впечатляет, но слишком просто, а если так :
-на любой плоскости существует точка, не принадлежащая прямой!
Лучше, уже гораздо лучше, почти похоже :
-на любой плоскости существует точка, не принадлежащая ограниченному количеству прямых на этой плоскости.
А ещё лучше так :
-на любой плоскости существует точка, которая лежит между каким-то количеством прямых на этой плоскости.
Впечатление, что кто-то, кого-то (как говорила наша учительница) за уши притягивает.
Donald Smith
Donald Smith
35 233
теорема, конечно. аксиом на свете не так много) Бог есть. Женщины глупы. Два плюс два равно четырем. Вот и все аксиомы.
Кирилл Жук
Кирилл Жук
9 808
Сергей Кашин Хорошо, если это так, то как тогда отсюда получить данное утверждение?
Если все точки плоскости сложить в одну линию-то она будет БЕСКОНЕЧНОЙ длины. Сумма же любого КОНЕЧНОГО числа отрезков КОНЕЧНОЙ длины имеет КОНЕЧНУЮ длину.
Из этого следует что количество точек через которые не проведены линии бесконечное количество.
Но! А если отрезки БЕСКОНЕЧНОЙ длины, то...?
РГ
Рома Горшунов
1 259
Donald Smith Где там сказано про отрезки?
Самсонова Оксана Все точки бесконечной плоскости можно сложить на отрезок длиной в один миллиметр. Нельзя же быть таким тёмным.

Похожие вопросы