Что есть умножение?

Нам наврали. Умножаться могут только животные, а это: пять взять пять раз, два вщять два раза....

Если "базовое Эмпирическое" - то умножение - это сокращенное сложение. Об этом и говорит само слово, подразумевающее, что результат умножения даст увеличение первоначальных величин.
НО! Все дело в том, что изначально ВСЕ математические операции подразумевали действия только с натуральными числами. Человек не воспринимал число как абстракцию, под любым вычислением подразумевались конкретные предметы.
А потом число стало жить своей обособленной жизнью. Появились дроби, появился нуль. Потом появились отрицательные числа, причем появились они не как абстракция, а как вполне себе конкретная вещь: при помощи отрицательных чисел записывали долги.
И тут стали проявляться любопытные вещи.
Например, сумма двух отрицательных чисел будет меньше любого из них по отдельности. При делении целого числа на дробь частное больше делимого.
И так далее.
Я так понимаю, что единого определения термина "умножение" в математике нет. Его сначала рассматривают в арифметике, а затем постепенно расширяют на числа, не являющиеся натуральными, и не только числа. Каждый раз при этом понятие арифметического умножения несколько расширяется.
Вообще же самая большая сложность в любой науке состоит в определении коренных понятий. Очень часто определить их невозможно, только описать. Пониманию этого факта у меня очень помогло своевременно прочитанное в "Справочнике по элементарной математике" Выгодского:
"Понятие сложения в математике является интуитивным и определению не подлежит".

>> Деление - вычленение частей из целого

Да вот хрен тебе.
Деление числа на дробное число увеличивает делимое.

Термин "умножение" введён из таблицы умножения: там умножая (на числа больше 1) всегда получаем числа большие, чем исходные. Для других случаев это, может быть, не очень удачный термин. Нечто похожее имеет место и на азерб. языке: в нём "умножь" - "вур", что одновременно означает "бей", "ударь". Я был свидетелем такого. Молодой папа учит сына-первоклассника: "Один вур один - сколько?" Тот отвечает: "Два". Отец сжимает кулаки и ударяет их один об другой: "Вот один... вур... вот один: сколько стало?" Малыш плаксивым голосом повторяет: "Два..." Отец смотрит на свои кулаки и бормочет: "На самом деле - два..."

деление тоже может увеличивать, если делить на дробное число, сложение может уменьшать, а вычитание увеличивать. Может ваши базовое эмпирические понятия не верные?

Многократное сложение

Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых. Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз. Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое. Результат умножения показывает, какое число получается.

Представляйте умножение одного числа (A) на другое (B, пускай даже и дробное) как растяжение-сжатие соответствующих отрезков. Пусть А - отрезок какой-либо длины. А В - дробное число. В - это отношение длин отрезков, длины которых равны значениям числителя (Вч) и знаменателя (Вз) числа В. Поэтому умножение длины отрезка А на дробь В эквивалентно поиску такого отрезка С, который относится к отрезку А также, как отрезок с длинной Вч к отрезку с длиной Вз.
Т. е. справедлива пропорция С: А=Вч: Вз .