Как находится корреляция по Пирсону простыми словами? Как вообще находится корреляция?

Корреляция - это метод, проверяющий, а нет ли связи между двумя какими-нибудь показателями или характеристиками чего-либо. Например, между средним баллом школьников по итогам учебного года и их интеллектуальным развитием по результатам тестирования IQ.

Берёте, скажем, тыщу взятых наугад школьников. Измеряете им IQ. Получаете тыщу средних баллов и тыщу значений IQ. Считаете эти два статистических набора случайными величинами. И ищете, к примеру, коэффициент линейной корреляции между ними.

Вычисляется он просто.
Находите среднее значение первой величины и среднее значение второй.
Берёте сумму произведений отклонений случайных величин от средних значений этих величин. И делите на корень из произведения сумм квадратичных отклонений этих величин.

Можно показать, что если между случайными величинами наличествует линейная связь, коэффициент линейной корреляции будет близок к плюс или минус единице. Чем слабее эта связь, тем ближе показатель будет к нулю.

PS
Между прочим, сильная линейная корреляция между статистическими показателями вовсе не всегда означает причинно-следственную связь между ними. Вполне может статься, что коррелирующие показатели являются проявлением какой-то общей причины.
Так, количество врачей в норме коррелирует с частотой заболеваний. Но это вовсе не значит, что волевое административное уменьшение числа врачей обязательно приведёт к снижению числа заболеваний. Наоборот, учитывая профилактирующую роль медицины, подобная политика может привести к обратному результату.

Че ее искать, центрируешь квадратично интегрируемые случайные величины, суешь в линейное пространство, факторизуешь так, чтоб среднеквадратичное отклонение сделать нормой.
Для дисперсий у тебя выолняется тождество параллелограмма, значит, норма порождает скалярное произведение через поляризационное тождество - ковариацию.
Коэффициент корелляции Пирсона для двух с. в. - это косинус угла между ними, порожденный вышеозначеным скалярным произведением.
Когда соучайных величин чуть больше двух, у тебя еще могут всякие матрицы Грама повылезать, пока забей на них, но будь морально готов.