Чем меньше площадь сечения трубы, тем больше скорость потока на выходе при том же входящем давлении, и наоборот?

Чем меньше сечение, тем меньше скорость. В реальных условиях поддерживать одинаковое давление на входе трубы можно только специальным стабилизатором, которого нет в Вашем случае.

Здесь мы должны говорить о законе сохранения энергии. Давление рассматриваем как потенциальную энергию, скорость потока как кинетическую.

Если бы это было так, то в отсутствии отверстия (то есть сечение = 0) скорость потока должна быть максимальной (возможно, что бесконечной!).
Подумайте. В задаче чего-то недоучли.
Закон Бернулли, но его ещё понимать надо.
Выводится из соображений непрерывности потока: за единицу времени по трубе протекает один и тот же объём, то есть s1*v1=s2*v2.

Тут немного сложнее, могут быть разные условия, и не совсем так. Если вопрос про домашний трубопровод, то при одинаковом давлении у узкой трубы будет ниже пропускная способность, т. е. меньше масса воды. Но, если насос достаточно мощный, то из-за сопротивления трубы давление на входе может возрасти, что приведет к увеличению скорости потока, но у толстой трубы всегда будет выше пропускная способность при одинаковых источниках.

Когда ты закрываешь кран, то тем самым уменьшаешь сечение трубы, ту бишь, скорость воды та же, но её становится меньше. Однако у тебя два режима в душе, а значит и два режима давления.

Да, при постоянном давлении на входе, чем меньше сечение трубы тем больше скорость течения и меньше давление.

Тут требуется уточнение: речь идет об одной и той же трубе переменного сечения, или о разных трубах разного сечения? Если вариант номер 2 - скорости потока одинаковые, за вычетом факторов второго порядка.