Как ученые-астрономы узнают и вычисляют массу и ращмер далеких объектов во вселенной?

Размер и масса звезды оцениваются по ее светимости (т. е., по количеству энергии, которую она излучает в единицу времени) и спектральному классу. Например, голубые звезды практически все либо гиганты, либо супергиганты. Массу, кроме того, можно проверить, наблюдая за тесными двойными системами -- период обращения двух звезд вокруг общего центра массы зависит от их масс.

На расстоянии несколько миллионов, а тем более десятков миллионов световых лет не то, что отдельную звезду, но и целую галактику не так просто разглядеть с помощью телескопа. Поэтому на таком расстоянии не то, что массу или диаметр, но и само наличие отдельных звезд ученым не известно .

А что касается нашей галактики (диаметр которой всего 100 тысяч световых), то тут всё проще. Масса звезд пропорциональна их светимости. Но тут проблема заключается в том, что светимость зависит еще и от расстояния до звезды, поэтому главная загвоздка заключается в этом параметре. Расстояние до близких звезд определяет по годичному параллаксу - оценивают смещение звезды на небе из двух противоположных точек земной орбиты, а далее - простая геометрия. Зная расстояние до звезды и оценивая её светимость можно достаточно точно прикинуть её массу и диаметр. А если звезда двойная (а таких очень много) то данные можно уточнить по гравитационному влиянию одного компонента на другой.

Еще по цефеидам.

математически

на глаз. пальцем в небо. да и как и кто проверит их расчеты?