Для чего нужно значение синуса угла? Как его можно применить? Что это за величина вообще?

Самое элементарное и наглядное определение тригонометрического синуса: синус есть величина противолежащего катета прямоугольного треугольника, с гипотенузой равной единице. (Более общее определение синуса, это когда прямоугольный треугольник "расширяется" на единичную окружность, с центром в точке [0; 0] в декартовых координатах и радиусом равным единице).
Так как пространственные формы и количественные соотношения связаны в математике, такое геометрическое соотношение как синус очень часто используется в математике и физике. В школе проходят колебания математического и пружинного маятников. Эти колебания, например, описываются через синус.

Когда понадобится что-то рассчитывать, проектировать, программировать и т.п. - сразу увидишь, куда и зачем это применяется.

Детский сад? Или максимум 3-ий класс??

Применяется в огромном множестве расчетов. Особенно в электро- и радиотехнике, но и в механике очень часто. На школьном уровне вводится сначала как отношение противолежащего углу треугольника катета к гипотенузе, но дальше понятие синуса очень далеко расширяется на множество других зависимостей.

Что это за величина вообще? - объясняли в школе, не прогуливай больше!
Как его можно применить? - много где, вот, например тут сплошные синусы и косинусы:

Бензиновые движки работают через синус.
При кантовании разных грузов тоже работает синус.
Расчёты на прочность и устойчивость конструкций, состоящих из углов, тоже идут через синус. И т.д.

Солнце на негров и чукчей светит тоже через синус

Лампочка горит - и там синус с косинусом (со временем узнаешь)! Трансформатор гудит от синуса. Ну и вобще. Кстати, немного другой синус у вас в районе бровей имеется, если воспалится - "синусит" будет, однако.

Моему сослуживцу-инженеру поручили рассчитать полусферический купол из 4-ммового листа. И он распорядился разрезать "дольки" в виде равнобедренных треугольников, изгибать, как дольки арбуза, и сварить между собой. Когда стали собирать, то между соседними дольками образовались зазоры, в которые можно было засунуть кулак. Пришлось всё это выбросить на металлолом. И это из-за того, что он не использовал, не знал как использовать синус.

Его можно применить для нахождения сторон треугольника.

ВМФ и ВКС, и Рогозин - Роскосмос, + артиллерия

синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Это тригонометрическая функция, они применяются во многих прикладных науках, очень часто используются в строительстве, механике, навигации и пр.

Синус угла в треугольнике прямоугольном есть отношение проиволежащего катета к гипотенузе. Можно стороны искать. В обычном треугольнике есть теорема синусов.