Если тело вращается по кругу равномерно, то у него есть только центростремительное ускорение.

Ты ж не просто малый вектор добавил. а какой-то, который ты называешь "бесконечно малым". Если это через пределы аккуратно распишешь, вопрос снимется. Если не умеешь векторнозначную функцию засовывать в пределы, засовывай ее туда покоординатно, для каждой _декартовой_ координаты вектора. При удобном всём - единичном радиуcе, единичном модуле скорости, удобной начальной фазе получаем:
v_x(t) = cos(t)
v_y(t) = sin(t)
Продифференцировали, получилось a_x(t) = -sin(t), a_y(t) = cos(t), т.е. оно просто повернулось (при неединичной скорости оно еще бы умножилось на неединичный скаляр).

Теперь подойдем к вопросу с другой стороны.

Тебя не смущает, что при движении точки по окружности скорость точки направлена по касательной к траектории, т.е. перпендикулярно радиус-вектору точки (при точечном репере с началом координат в центре окружности, т.е. при откладывании радиус-вектора от центра)?
Ну вот, теперь замени годограф скорости на параметризованную временем траекторию точки и сведи задачу к предыдущей.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Годограф

Уменьшайте шаг дискретизации, и ваше увеличение сойдёт на нет.

Начинаете словами "Если тело вращается по кругу равномерно", а заканчиваете "модуль должен чуть-чуть увеличиваться".
Не видите здесь алогичность? Ведь вращение равномерно означает постоянство модуля...

Инерция это способность тела (например водной массы или океана) сохранять движение после ускорения, торможения или изменения траектории движения. Уточним, что при движении тела с постоянной скоростью по кругу, инерционный момент будет всегда постоянный и и в зависимости от скорости направлен радиально по радиусу. Когда при определенных соотношениях скорости, радиуса и веса инерционный вектор направлен строго по радиусу, это называется резонансным движением. К таковым относятся движения всех космических объектов во вселенной. Например водитель резко нажал на газ...авто начало ускорение...водилу по инерции прижало к креслу или наоборот водитель нажал на тормоз... торможение это как ускорение только наоборот...водилу прижало к рулю...то же по инерции... т.е. инерция присутствует только при наличии массы которая испытывает ускорение , торможение или изменение траектории... именно эти силы и есть то что называют перегрузками... если же тело плавно ускоряется...до любых скоростей и также плавно тормозится...то инерция будет безопасной и тело не будет испытывать перегрузок.. Вода на Земле подобна воде стакана, который вращают по кругу.. Вода смещается в стакане по мере вращения стакана.. также и вода на Земле... по причине той же самой силы инерции... Представь себе тело которое движется кругу, инерционный вектор этого тела будет всегда направлен в сторону, т.е. масса все время будет стремиться сместиться в сторону. Также и вода земли, смещается туда сюда из-за инерции вращения земли. Луна, Солнце и планеты влияют только на параметры орбитального движения Земли, но никак не влияют на сами приливы и отливы... Эти небесные объекты делают инерционную геометрию сложной петлеобразной кривой, словами Виктора Шаубергера "универсальным движением по спирали". Тот же процесс и для атмосферы, это выражается например в ночных и дневных бризах, ветрах, которые дуют с суши на море и и с моря на сушу. Ветра как бы повторяют направление приливов и отливов, как вдох и выдох повторяет ритмы сердца. Этой инерционной силе подвержены все объекты земли обладающие массой (весом) и испытывающие влияние инерционного вращения земли. В том числе и сам человек, что выражается например в графике биоритмов человека.

Надо учитывать соизмеримость объектов. Вес человека ничтожен по сравнению с весом океанов или атмосферы. Это как если бы вы пытались вращать на веревке не груз 10 кг, а тело с весом атома. Была бы инерционная сила при вращении тела с массой атома ? Нет, поэтому и человека не сносит при вращении Земли, а океаны "сносит" в виде приливов и отливов.... Далее в невесомости груз весит 10 кг, масса есть а инерционной силы нет... Стоит придать грузу вращение так сила сразу появляется. Следовательно причиной того, что вы называете "гравитация" должна быть масса которая вращается, неподвижный центр вращения или второй соизмеримый объект. В нашем случае массой является планета земля, ее орбитальное движение и одновременное вращение. Следствием данного движения, того что называют "гравитация", является инерционная сила земли, которая приводит океаны земли в движение в виде приливов и отливов. Таким образом причиной приливов и отливов не является сама гравитация, но причиной приливов и отливов является следствие гравитации.

Есть ещё тангенцальное (dv/dt) по касательной. Но при равномерном движении оно равно нулю.
Нормальное ускорение, направленное к центру равно v²/R.

Вы забываете, что скорость тоже вектор.
И производную нужно брать как от вектора.
Дальше: при равномерном движении ускорение равно нулю. И все ваши рассуждения не имеют дальнейшего смыла. Одна ошибка в основание вашей рассуждений и от них остался пшик.
Если вы будет рассматривать окружность (траектория) в декартовых координатах, то тогда величина вектора скорости не меняется (при равномерном движении), но меняется его направление.
Если вы корректно опишите этот процесс в виде уравнений и возьмете производную - там все сразу станет на место.
Но, практический смысл имеют естественные координаты, которые движутся вместе с телом: касательная и нормаль к траектории.
Так вот, в этих координатах, для кругового движения, проекция вектора ускорения на касательную будет равна нулю, а на нормаль не равна и направлена внутрь кривизны траектории.
Это если просто.