Один случай доказывает существование явления?

Да, для доказательства факта существования какого-либо явления достаточно предъявить один единственный случай.
Однако, что важно, случай должен быть надёжно и достоверно зафиксирован, исключать альтернативные трактовки.
Т.е., например, если астрономы зафиксируют приближение к нам из глубин космоса на околосветовой скорости какого-ибо объекта, который затем начнёт тормозить, в итоге выйдет на околоземную орбиту, полетает по ней несколько месяцев, передавая в это время радиосигнал, принимаемый специалистами и радиолюбителями по всей планете, явно содержащий какую-то информацию, а не просто белый шум, а затем вновь начнёт ускорятся и на околосветовой скорости улетит за пределы Солнечной Системы, то этого единственного случая будет достаточно чтобы доказать существование внеземных цивилизаций.
А вот если какой-то алкаш утверждает, что его похитили инопланетяне и ставили над ним биологические эксперименты, то этот случай вполне может иметь альтернативную трактовку в виде "белой горячки", а потому никак не является доказательством чего-либо.

Почему бы нет.

Один-единственный? Нет, т.к возможно что-то неправильно поняли.
Только стабильно воспроизводимый результат.

Конечно.

после того, не значит в следствие того
так же одна дождинка еще не дождь, а одна снежинка еще не снег
одного случая недостаточно для выведения закономерности

Для подтверждения гипотезы требуется ее согласование с возможно большим числом эмпирических фактов, а для опровержения достаточно одного факта несогласованности с опытом.

Смотря какое явление и какой случай.

М.б. явление статистическое - тогда нет.
Пример: выскаывается гипотеза (предполагается явление), что любое целое число делится на 2. Наугад взяли 6 - делится.Но это не доказывает высказанную гипотезу.

М.б. какое-то явление вроде бы произошло, Есть записи одного или нескольких автоматических регистраторов, свидетельствующие, что явление произошло. Но м.б. была какая-то хитрая помеха, приведшая к такому срабатыванию регистраторов.
Так что надежных доказательств нет.

М.б. какое-то явление произошло и оставило материальные следы, позволяющие их неоднократно и разными методами изучать, и это изучение может доказывать, что это явление действительно произошло.

М.б. какое-то явление произошло в присутствии большого количества трезвых наблюдателей, оно было четко видно и его суть не имеет отношения к их религиозным или мистическим воззрениям. А также развитие техники и экономики в то время не дает возможности сфальсифицировать происходящее.
Тогда явление доказано.
Пример: один-единственный первый полет братьев Райт доказал ложность господствующего в то время мнения, что полет на летательных средствах тяжелее воздуха невозможен.

Если это галлюцинация - то, это явление происходит внутри мозга