Интегральная теорема Гаусса. Переменная плотность

А вы разве брали какой-то интеграл, чтобы получить константу интегрирования? Если бы я принимал у вас эту задачу, я бы попросил вас объяснить исходное равенство: откуда оно берется, и почему оно такое. Если б вы сказали, что это константа интегрирования, то:
1) неплохо бы привести диффур или интеграл, при интегрировании которого эта константа вылезла
2) почему эта константа интегрирования имеет именно такое значение

Да, вы правы. q/e0 здесь является константой интегрирования.

Для решения задачи, сначала найдем выражение для напряженности электрического поля E вне шара. Из закона Гаусса следует, что электрическая напряженность на расстоянии r от центра шара будет равна:

E = q/(4πε0r^2)

где ε0 - электрическая постоянная.

Далее, найдем заряд шара. Для этого воспользуемся формулой для объемного заряда:

ρ = dq/dV

где dq - заряд элемента объема dV. Для сферически симметричного заряда эту формулу можно записать в виде:

ρ = (dq/dr)(dr/dV) = (q/4πr^2)(3r^2dr)/(4πr^3) = (3q/4πr^3)dr

Заметим, что интегрирование этого выражения даст заряд шара. Однако, перед интегрированием необходимо исключить константу интегрирования, которую мы обозначим как C:

ρ = (3q/4πr^3)dr + C

Так как модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не должен зависеть от r, то значит, E должно быть постоянным на всей поверхности шара, в том числе и на его поверхности. Это означает, что на поверхности шара должно быть равенство:

E = q/(4πε0R^2) = const

где R - радиус шара.

Теперь мы можем решить систему из двух уравнений: уравнение для ρ и уравнение для E. Разрешая ее, мы можем найти заряд шара:

E = q/(4πε0R^2) = (3q/4πε0R^3)∫(R to ∞) rα/r dr + C

Решая это уравнение относительно q, получим:

q = (4πε0R^3*E)/(3-αR)

Таким образом, заряд шара, при котором модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от r, равен (4πε0R^3*E)/(3-αR). Электрическая напряженность вне шара также равна E = q/(4πε0R^2), где q - заряд шара.

Без понятия