Вопрос из области математики, кардиналы, помогите решить!

Здравствуйте!

Обычно, чтоб доказать что-то подобное, используются разные методы. За частую, чтоб доказать, что множества A и B равны в кардинальности, требуется--давольно банально--найти взаимооднозначное отоброжение f: A-->B. Это не всегда самый удобный путь к решению проблемы, а часто даже самый сложный. Найти инъективные отображения F: A-->B и G: B-->A на много проще. Из чего следует, что |A| <= |B| и |B| <= |A|. Затем можно использовать теорему Кантора — Бернштейна, чтоб заключить, что |A| = |B|.

В нашем случае, можно использовать кривую Пиано, в коньюкции с теоремой Кантора -- Бернштейна. Рассмотрите этот способ как упражнение для себя. Я предложу вам другой, более простой, но менее очевидный метод: мы пойдем первым путем: найдем взаимоодназначное отображение f: [0, 1] x [0, 1] --> [0, 1].

Сначало, согласимся, что все цифры в интервале [0, 1] имеют бинарную экспансию. То есть, все цифры в интервале [0, 1] можно представить в виде бесконечной последовательности (а1, а2, а3, . ), где термины последовательности а1, а2, . лежат во множестве {0, 1} (т. е. , каждый термин аi равен либо 1, либо 0). Чтоб представить, как это возможно, докажите, что каждая цифра в интервале [0, 1] может быть представлена в образе ряда:

а1 + а2/2 + а3/4 + а4/16 + .

где каждый термин а1, а2, . лежит во множестве {0, 1}. Более того, это представление уникально - т. е. ассоциация последовательностей (а1, а2, . ) с цифрами в [0, 1] является взаимооднажначным отображением!

Назовём множество всех подобных последовотельностей "А". Значит мы имеем взаимоодназначное отображение F: [0,1]-->A

Теперь, скажем (a, b) лежит в квадрате G = [0, 1] x [0, 1]. Мы знаем, что F(a), F(b) лежат в А. Скажем, F(a) = (a1, a2, a3, ..) и F(b) = (b1, b2, b3, . ). Строим следующее отображение:

f: [0, 1] x [0, 1] --> A

где

f(a, b) = (a1, b1, a2, b2, a3, b3, . )

То есть, термины рассположенные в нечетных ячейках формируют F(a), а те, что в четных - F(b). Теперь доказваем, что f является взаимооднозначным отображением.

Скажем (a, b) и (c, d) лежат в квадрате G. Предположим, что (a, b) не равно (c, d). Но тогда либо a не равно b, либо c не равно d. Предположим первый случай (второй аналогичен) . Но тогда, поскольку F явлается однозначным отображением, мы знаем, что F(a) не равно F(c). Но тогда f(a, b) не равно f(c, d), так как они отличаются в последовательностях в нечетных ячейках. Значит f однозначное отображение.

Теперь, скажем нам дана последовательность (х1, х2, х3, . ) в А. Пусть a = (x1, x3, x5, . ) и b = (x2, x4, x6, . ). Но тогда a, b лежат в [0, 1], а значит, что (a,b) лежит в G. Видно, что f(a, b) = (x1, x2, x3, . ).

Следует, что ф взаимооднозначное отображение. Теперь строим взаимоодназначное отображение

H: [0, 1] x [0, 1] --> [0, 1] таким образом:

H(a, b) = F^*f(a, b),

где F^ - это обратное отображение F.

Из этого следует, что кардинальность G равна кардинальности [0, 1]. Но, нетрудно доказать, что кардинальность [0, 1] равна кардинальности R.

Теперь, чтоб доказать, что кардинальность диска равна кардинальности R, постройте взаимооднозначное отображение между диском и квадратом (это не так уж сложно - к примеру, в общей топологии показано, что диск гомеоморфен квадрату) .

Удачи!

В. Н. Е.

Попробуйте подобрать взаимно однозначную биекцию множества вещественных чисел на множество точек квадрата (или круга) . Если такая биекция существует, то кардинальность обеих множеств одна и та же.

Пусть координата точки в квадрате:
(0,a1 b1 c1... ; 0, a2 b2 c2...)
Сопоставим ей точку отрезка 0, a1 a2 b1 b2...
Отображение однозначно.
Это примерная схема доказательства равенства кардиналов множеств точек квадрата и отрезка.
Для круга - необходимы незамысловатые технические ухищрения.