Какие четыре определения массы есть?

Вообще говоря, масса определяется двумя способами:
1. Мера инертности, т. е. чем больше масса тела, тем труднее изменить его скорость.
2. Мера гравитационного взаимодействия, т. е. чем больше масса тела, тем сильнее оно притягивает остальную материю Вселенной и притягивается само.

Совершенно не очевидно, что эти две массы, которые определяются этими двумя разными способами должны совпадать, но к настоящему времени эксперементально установлено совпадение значений этих двух масс для одного и тоже тела с точностью до седьмого знака после запятой, и еще Эйнштейн строил свою теорию относительности на предположении, что гравитационная и инерциональная масса совпадают. Одним из следствий этой теории, а значит и предположения о совпадения гравитационной и инерциональной массы явилась выведенная Эйнштейном связь массы и энергии тела. Но связь массы и энергии нельзя считать третьим определением массы, так E = M*c^2 это следствие предположения об эквивалентности первых двух определений массы и независимости скорости света от системы отсчета.

Под четвертым определением массы, скорее всего, имеется ввиду эйнштейновский взгляд на гравитацию из Общей Теории Относительности:
гравитация - это искривление пространства, как бы ямы в пространстве, аналогичные тем, которые получаются если натянуть кусок ткани и в середине положить тяжелый шар, потом шар убрать, а искривление ткани оставить, тогда маленькие шарики вблизи этой ямы будут двигаться так, как будто на них действуют гравитационные силы.
Если все это представить не на двумерной ткани, а в нашем трехмерном пространстве, добавив сюда измерение для времени, то можно считать, что, например, Солнце создает в пространстве такую яму и Земля двигается вокруг Сонца не потому, что Солнце как-то там притягивает Землю, а потому, что в этом искривленном пространстве для Земли это самая естественная траектория движения.
При таком подходе получается, что масса это мера искривления телом пространства Вселенной.
Но опять же, одновременно такая масса остается мерой гравитации.

Так что из четырех "определений массы":
меры инертности, гравитации, полной энергии и искривляемости телом пространства, по-настоящему различных определений только два:
мера инертности и мера гравитационного взаиможействия.