ребенок поймал маленьких карасиков кошке, живых пустила в банку, можно ли их потом к рыбкам в аквариум

Не стоит сейчас, можно легко в аквариум заразу занести, прокарантинить нужно.

Можно. Если есть желание вполне можно запустить годовалых карасиков в аквариум. Они прекрасно будут жить вместе с золотыми рыбками, что вполне объясняется - они родственники. Требования к содержанию практически такие же как и к золотым рыбкам.
Хотя честно говоря - я лично не вижу в этом особой необходимости, люди за сотни лет вывели несколько десятков пород карасей - золотых рыбок, которые значительно лучше адаптированы к проживанию в аквариуме и значительно красивее.
А вот к тропическим рыбкам (скаляриям, гуппи, меченосцам) очень не советую подселять карасиков, на это есть несколько причин:
- караси запросто занесут в аквариум паразитов и болезни (ну действительно, кто пускает в собачий питомник, дворняжек с улицы) , глисты гарантировано получите;
- тропический аквариум плохо подходит для отечественных холодноводных рыб, по температурному режиму;
- многие тропические рыбы не прочь обидеть карасей (кстати и золотых рыбок тоже) гуппи могут объедать слизь с тела карасей, старые сомы гиренохейлусы могут запросто присасываться к телу карасей объедая его до крови.

Не стоит. Караси грязные, и быстрые, и растут быстро. Задавят (а то и съедят спросонья) . В общем - Не рискуйте. Если не лень, заведите ещё аквариум для карасей (литров 80). Я видел подобный. Там караси жили 10 лет.

Нет, т. к. В Средней полосе очень много больной рыбы и ваши аквариумные могут погибнуть от неизвестных карасей.

Они сдохнут быстро..

Не надо! Дело в том, что караси-речные рыбы, а те-аквариумные...