сколько по времени работает батарея 4400 mAh

Зависит от того, сколько от нее "кушают".
4400 mAh означает, что устройство, потребляющее 4400 mA (или 4.4 А) сможет проработать 1 час (понятно, что при больших токах время будет меньше - там не совсем линейные зависимости) .
Если же 2200 mA, то 2 часа и так далее. .

Ток в миллиамперах * Время в часах = 4400 mAh

ps: Ампер-час (А·ч) - внесистемная единица измерения электрического заряда, используемая главным образом для характеризации ёмкости аккумуляторов.

Исходя из физического смысла, 1 ампер-час - это электрический заряд, который проходит через поперечное сечение проводника в течение одного часа при наличии в нём тока силой в 1 ампер.

Заряженный аккумулятор с заявленной ёмкостью в 1 А·ч теоретически способен обеспечить силу тока 1 ампер в течение одного часа (или, например, 0,1 А в течение 10 часов, или 10 А в течение 0,1 часа) . На практике слишком большой ток разряда аккумулятора приводит к менее эффективной отдаче электроэнергии, что нелинейно уменьшает время его работы с таким током и может приводить к перегреву.

4400 Миллиампер/часа это ёмкость. = 4,4 ампер/часа. Делим 4,4 на потребляемый ток в амперах - получаем время работы в часах. Тоесть 4,4 А ток = 1 час. 1Ампер - 4,4 часа Ток 6 милиампер = 1 месяц итд...