Может ли старый жесткий диск тормозить комп?

Да! Если он проблемный, и на нем есть бэды, то может.
На нем есть системные файлы, помойка, файл подкачки, гибернации или чего еще. ОС обращается к ним, и если есть сбойные сектора, то ос не может считать инфу, начинает напрягаться и тормозить, пытаясь прочесть поврежденную инфу. Выяснить не сложно, тест викторией, и все понятно!

так же якорь может быть на ссд. Особенно на старых пк. Может быть загрузка ОС как на HDD или даже медлденнее. Изза проблем дров, ОС, софта.
При загрузке ОС происходят конфликты, службы и дрова тупят и тормазят, это отражается во во времени загрузки. На ютубе на канале Павла Мудрого есть рецепт как такую ботву лечить.
В кратце, есть тулза, которая пишет протокол загрузки. Запустив ее и перегрузив комп, получают журнал загрузки, в котором по минутно все расписано. И видно какой процесс сьедает много времени. Зная его имя, не трудно выяснить чей он, и принять меры. Как правило надо или дрова перезалить, или чего обновить, или отключить ненужное.

Главное что бы на старом не было битых секторов

да

Может
Медленно работает SSD диск — причины и решение

Всё норм будет, если только хард не совсем древний. Разница будет только в скорости копирования

В таком случае нет, тормозить может только программы которые установлены на hdd

сам ssd так же может тормозить - у них как разная скорость чтения, так и для разных блоков определённая продолжительность жизни... если ты терабайтами гоняешь память через свой диск, долго он не проживёт. Но в большинстве случаев это конечно нехватка оперативной памяти. Иногда и слишком древний процессор. Иногда вирусы.
В диспечере задач или через программу ссклинер повырубай автозагружаемые с виндой проги, какие не нужны, но не трогай те, что в папке виндовс.
Обновить оперативку стоит ну тыщ 8, в случае, если берёшь новую. Можно и бу. Копейки. Обновить проц на не современный, но очень мощный, тыщ 8). И забудешь про свои проблемы, что бы там у тебя в автозагрузке не стояло.
Так же конечно рекомендуется программой ссклинер почистить реестр на ошибки(несколько раз). В некоторых случаях очень помогает. Перед этим только обязательно создай контрольную точку восстановления - всякое может быть.