Как сохранить лимоны, чтобы они и не засохли, и не сгнили? В каких условиях их держать лучше?

Тут зависит от того, чьи это лимоны.
Сколько раз проверял, у меня почему-то ташкентские лимоны (кисло-сладкие), гораздо дольше хранятся, чем любые другие.
Но в любом случае, оберните их сухой салфеткой (туалетной бумагой), и положите на нижней полке холодильника. Только чтобы они не были придавлены, и сверху ничего не лежало на них.
Так они могут месяц-полтора храниться.

Мелко порезать положить в миксер добавить Сахар имбирь корицу, и все перемешать

Цитрусы довольно долго хранятся просто в холодильнике на полке для овощей, без пакета
Если я уже надрезала лимон - он хранится в дверце холодильника, тоже без пакета. Немного подсохнет - ничего, срежу кружочек, а остальное свежее
И, смотря для какого дела. Если для сладких целей, то - бесконечно долго можно сохранить лимоны - порезанные кружочками и засыпанные сахаром, в банке с крышкой. Они дадут сок.
А целиком - до НГ совершенно точно они у Вас в холодильнике долежат

Порезать и пересыпать сахаром

Перво-наперво покупать толстокожие.
К примеру фрукт Помело-срок хранения не ограничен, ибо у него шкура, как у носорога....

лимоны в холодильнике в дверце храню. долго лежат.

в холодильнике в ящике для фруктов

В холодильнике. Недавно я прочитала, что уже разрезанный лимон, чтобы он не терял сочность, надо засунуть в стакан с водой, чтоб срез находился над водой, и таким образом стакан поставить в холодильник. И я проверила, действительно это работает.

правильно хранить их в холодильнике, где овощи... долго хранятся

В пакете в холодильнике, в овощном отделении или даерце. Довольно долго хранятся

На стенке холодильника лимоны хранятся довольно долго, даже безо всякого пакета. Иногда некоторые советуют натирать их воском - чтобы хранились подольше.

не мыть их

место среза плотно накрыть пищевой пленкой и замотать пленку вокруг лимона

Нарезать дольками и убрать в морозилку
Тут можно посмотреть как хранить лимон