Вопрос к математикам и сочувствующим. 10 баллов!

Мне кажется, я понимаю, откуда взялась эта формулировка Параллельные прямые пересекаются .

Действительно, Лобачевский отказался от Пятого постулата Евклида, который на самом деле говорит совсем не о том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Кстати, слова из школьных учебников по геометрии не лежащую на прямой вызывают у меня глубокий протест, но что поделать – в традициях российского школьного образования прямая не считается параллельной самой себе.

Так вот, Пятый постулат Евклида на самом деле гласит
И если прямая падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
или, на современном языке,
Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

Справедливости ради следует отметить, что первая привёденная формулировка эквивалентна формулировке Евклида, но принадлежит Проклу.

Однако, Пятому постулату эквивалентна еще куча утверждений, в частности и теорема
Пифагора. Совершенно не понятно, почему предпочтение отдаётся формулировке Прокла.

Ну так вот, Лобачевский взял и задумался, а почему, собственно, Пятый постулат именно постулат, а не теорема (как двоечник в известном сюжете из Ералаша ). Опять же кстати, сам Евклид различал понятия постулат и аксиома, не указывая на то, чем же они отличаются. Возникла у меня рабочая версия. Если аксиома - это истина, не требующая доказательства, то постулат - это вовсе не истина, а то, что мы декларируем, закрепляем, однако тоже без доказательства.

Ну так вот, попробовал бедолага Лобачевский доказать этот пресловутый постулат – не получилось. Да призадумался, раз это постулат, который Евклид сам постулировал, то почему бы мне не напостулировать чего-нибудь другого. Например, что это вовсе не постулат. И через точку можно провести более одной прямой, параллельной данной. Ну и фиг с ним, с Евклидом, Проклом, а заодно и Пифагором.

А про пересечение параллельных прямых у обывателя вот что возникло. Думает себе обыватель: те две прямые, которые параллельны исходной, параллельны каждая третьей, стало быть, параллельны между собой, однако проходят через одну точку, стало быть, пересекаются. Однако обыватель забыл, а, скорее всего, и не знал, что утверждение о том, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой эквивалентно Пятому постулату, которого у Лобачевского-то и нет. Так что при всём своём желании Лобачевский не мог доказать этого утверждения, противоречащего определению параллельных прямых.

Ну ребята, вы даете.. . Тут кризис мировой, а с теоремами!

Ой, Вы тут напутали! Параллельные ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ не пересекаются!! ! Лобавческий заменил аксиому "через точку проходит только 1 прямая параллельная данной" на аксиому о том, что "через точку могут проходить 2 и более прямых параллельных данной". И построил новую геометрию

А за чем так заморачиваться? Нас как учили в школе? Параллельные прямые не пересекаются. Вот так и надо думать!

Часто на вопрос «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида? » многие отвечают, что в геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой, параллельные прямые пересекаются. Многие также заблуждаются относительно утверждения евклидовой аксиомы о параллельных, считая, что она утверждает: «Параллельные прямые не пересекаются. »

На самом деле это неверно. Параллельными прямыми и в той, и в другой геометрии называются прямые, которые не пересекаются друг с другом. То есть сама формулировка «в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются» бессмысленна.

Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Пятый постулат Евклида в формулировке Прокла утверждает, что «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» . В геометрии Лобачевского эта аксиома выглядит так: «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят хотя бы две прямые, параллельные данной» . (В обоих случаях прямые принадлежат одной плоскости. ) Таким образом, эту аксиому часто путают с определением параллельных прямых.

Лобачевский доказал, что такая формулировка аксиомы не противоречит ни одной аксиоме из предыдущих четырёх групп, значит, в таком виде стандартные 4 группы аксиом плюс 5-я аксиома в формулировке Лобачевского имеют право на существование и образуют так называемую гиперболическую геометрию (которую часто и называют геометрией Лобачевского) .

Также в рекламе бытовой техники Zanussi было: «Параллельные прямые не пересекаются. Доказано Евклидом» . Это тоже нонсенс — определение не требует доказательства.