Можно ли учить высшую математику, не зная школьного курса? Подробнее внутри

Сильно зависит от тем. К примеру, матрицы и векторы можно понять, зная только таблицу умножения и пропорции, а всякие сложные преобразования - там уже и логарифмы всплывут, и прогрессии, и интеграл. Зависит от направления. Но основы всё равно понадобятся

Если УМЕЕТЕ читать и пользоваться книгами, то будет учиться не очень сложно. А если умеете только спросить в "ответах" - то ничего вам не светит. Но не имея минимальной школьной базы - вы не сможете учить высшую математику. Даже в книгах будет очень сложно.

Смотря что надо программировать. Далеко не везде в программировании вообще нужна математика. Если собираетесь программировать, то лучше английский учите как можно сильнее, а не высшую математику.
Теперь по "высшей математике"
из википедии: "Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики."
Как бы для аналитической геометрии нужно знать обычную хотя бы немного. Для линейной алгебры нужно понимать хотя бы, что такое вектор, но там вначале обычно дают определение. Дифф. и инт. исч. - нужно понимать, что такое функции хотя бы, тригонометрию немножко знать. В диффурах без функций вообще никак. Теория множеств - хотя бы понимать, какие бывают множества чисел. Теорвер... ну наверное можно и так. Но только самую базу
Я просто к тому, что обычными арифметическими операциями не обойтись. Попробуйте начать читать Фихтенгольца. Основы матанализа. Посмотрите - пойдет или нет. Вообще очень сомнительное утверждение у вашего друга.
Еще раз повторю, что лучше всего для программирования учить изначально инглиш.