существует ли слова ихний

В русском языке нет.
В английском есть слово Theirs (которое по смыслу переводится как "ихний")

Да, встречалось это слово у Булгакова, Достоевского, Бунина и у многих других писателей, так как в 19 веке оно имело большое распространение.
Судьба местоимения ИНХНИЙ сложилась так, что, несмотря на широкую употребительность в разговорных стилях языка и в XIX веке, и в наше время, в правах литературного гражданства этой форме всегда отказывали. Еще русский филолог Федор Буслаев в позапрошлом столетии писал: «Притяжательное местоимение ихный, столь употребительное в речи разговорной и столь необходимое, еще довольно туго входит в язык книжный».

Современная норма употребления местоимений ИХ - ИХНИЙ требует стилистически дифференцированной оценки вариантов. В строгой деловой, научной и публицистической речи уместно употреблять нейтральную литературную форму ИХ. В устной же речи зарегистрированы отступления от строгой литературной нормы. Практически употребляются оба варианта, причем ИХНИЙ придает речи сниженную, просторечно-разговорную окраску. Формы евонный, ейный, параллельные литературным формам его, ее, изредка наблюдаются в малокультурной речи необразованной части населения. Эти варианты недопустимы в нейтральной устной речи. И уж точно сейчас - это слово недопустимо в литературе.

Не существует. Есть литературное слово "их". Ихний - это простонародное неграмотное выражение.

А как в литературе могут не присутствовать слова, бытующие у людей? Ведь никто не поверит писателю, если его герой, например, крестьянин конца 19 - начала 20 века станет изъясняться на чистом литературном языке?

Вы же написали, все отвечающие поняли. Слово - то существует, но, вот, "в каком смысле"...

И кто же эти загадочные "многие писатели"?

В Викисловаре есть. Но там с пометкой, что это просторечие.

эгеш

Конечно, евонная и т. д. , всё это от малообразованности))))

нет. правильно будет заменять это слово на "их" (да, прикинь! так нестандартно но правильно!)