Задание из пробника по математике

Для начала, обратим внимание на следующие факты:

Углы AMB и BNC равны (по условию задачи).
Отрезки AN и CM равны (по условию задачи).
Углы BAC и BNC являются вертикальными (по определению вертикальных углов).
Углы CAM и CBM являются вертикальными (по определению вертикальных углов).
Теперь докажем, что треугольник ABC является равнобедренным. Для этого рассмотрим два случая:

Случай, когда точки M и N лежат на одной прямой с точкой A. В этом случае, углы AMB и BNC являются вертикальными и равными друг другу, а отрезки AN и CM также равны. Следовательно, по критерию равенства треугольников ASA (угол-сторона-угол) треугольникы AMB и BNC равны, а значит, соответствующие им стороны AB и BC равны. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

Случай, когда точки M и N не лежат на одной прямой с точкой A. В этом случае, по свойству равенства вертикальных углов, угол BAC равен углу BNC, а угол CAM равен углу CBM. Также, по условию задачи, отрезки AN и CM равны. Следовательно, по критерию равенства треугольников SAS (сторона-угол-сторона) треугольники ABC и BNC равны, а значит, соответствующие им стороны AB и BC равны. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, в обоих случаях мы получили, что треугольник ABC является равнобедренным, что и требовалось доказать.