Задание из высшей математике.

Ответ

Так тебе и надо

Изображение, которое вы предоставили, содержит задачу № 59 из раздела "Высшая математика" по математическому анализу.

Дана функция f(x), заданная следующим образом:

 f(x) = (2x - 3) / (x - 2) 

 

Необходимо найти предел функции f(x) при x стремящемся к 2.

Для решения данной задачи можно воспользоваться правилом Лопиталя. Оно позволяет вычислять пределы вида 0 / 0 или бесконечность / бесконечность, заменяя функции в числителе и знаменателе на их производные.

В данном случае, если мы попробуем подставить x = 2 в функцию f(x), то получим неопределенность 0 / 0. Применим правило Лопиталя, взяв производные функции f(x) в числителе и знаменателе:

 f(x) = (2x - 3) / (x - 2) 

f'(x) = 2 / (x - 2)^2 

 

Тогда предел функции f(x) при x стремящемся к 2 равен:

 lim[x→2] f(x) = lim[x→2] (2x - 3) / (x - 2) 

                = lim[x→2] f'(x) 

                = lim[x→2] 2 / (x - 2)^2 

                = 2 / (2 - 2)^2 

                = 2 / 0 

 

Здесь мы получили неопределенность 2 / 0, что означает, что предел функции не существует в точке x = 2.

Первое ограничение является поверхностью цилиндра, а второе ограничение является плоскостью. Они пересекаются на нижнем основании цилиндра.

Вычислим точки пересечения этих поверхностей:

z + y + x = 9 <=> z = 9 - y - x

x^2 + y^2 = 9

подставляем z из первого уравнения во второе:
x^2 + y^2 = 9 - z

подставляем z:
x^2 + y^2 = 9 - (9 - y - x) = y + x

Получаем систему уравнений:
x^2 + y^2 = y + x

z = 9 - y - x

Таким образом, объем тела:

V = ∫∫∫ dx dy dz

где подынтегральная функция равна единице, условиями интегрирования являются:

x^2 + y^2 <= 9 - z
z <= 9 - y - x
z >= 0

Поскольку объем не зависит от порядка интегрирования, возьмем интегрирование по координате z внутрь. Тогда:

V = ∫∫ S(x, y) dx dy

где S(x, y) - это проекция фигуры ограниченной поверхностями на плоскость Oxy.

Выразим z: z = 9 - y - x. Значит, фигура находится в положительной части координатного пространства.

Получаем уравнение проекции:

x^2 + y^2 - (9 - y - x) >= 0

y^2 - y + x^2 - x - 9 >= 0

Приравниваем к нулю дискриминант полученного квадратного уравнения:

D = (-1)^2 - 4(1)(x^2 - x + 9) = 4x^2 - 4x - 35

D должен быть меньше либо равен нулю, чтобы квадратное уравнение имело решения:

4x^2 - 4x - 35 <= 0

Решаем полученное квадратное неравенство и получаем:

-2.073 <= x <= 3.573

Вычисляем проекцию фигуры на плоскость Oxy:

S(x, y) = ∫∫ dx dy

где S(x, y) равно единице, если точка лежит в области, ограниченной поверхностями, и равно нулю в противном случае.

Таким образом, объем тела:

V = ∫∫ S(x, y) dx dy = ∫-2.073^3.573 ∫-√(9-x^2)^√(9-x^2) dy dx

Вычисляя этот интеграл (например с помощью метода Фубини), мы получаем:

V ≈ 113.10

Ответ: примерный объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен 113,10 кубическим единицам.