Как считаете, нужно выполнять последние просьбы человека? По возможности хоть? Вообще последняя воля, это откуда пошло?

Если желание не выходит за рамки разумного то конечно надо выполнять.
Ваша история с котом умершей бабушки - вообще верх цинизма. Жилье значит унаследовали а о животном позаботиться не захотели. Могли бы хоть пристрой найти если сами животных не любят. А вот так на улицу... не по человечески.

Откуда пошло? Оттуда, что человеку, умирая, будет легче на душе, если он уверен: то, что важно для него, будет исполнено (в данном случае - ее любимый кот с ее кончиной не погибнет).
Но, увы, не сегодня великий поэт сказал: "Досадно мне, что слово ЧЕСТЬ забыто"...

Нужно ещё при жизни человека давать обещание выполнить его последнюю просьбу, а когда он уйдёт в мир иной, там уж как получится - иногда выполнить обещанное оказывается просто нереально

это, скорее, от уважения в человеку.
У меня знакомая недавно переехала в новый дом. Они арендовали ферму, что при этом доме. Постройки там всякие, они там всякой живности понаразвели... А женщина, чья ферма, и чей дом при ферме - престарелая, одинокая, дети есть, но у всех свои семьи.
Так старушка приказала: как я умру, дом на продажу выставите, если Таня захочет купить - продайте только ей и никому другому, за ту цену, которую она предложит, она сделала мои последние годы счастливыми: ее дети постоянно были на ферме, постоянные детские голоса, постоянная возня и жизнь на ферме была, как в годы моей молодости...
Родственники именно так и сделали, хотя могло продать дом и ферму кому-то другому, за более высокую цену.
Но они сделали как велела старушка, не повелись за лишней копейкой... осчастливили Таню и ее семью, они очень привязаны к этой ферме уже 10 лет...

НАДО ДУМАТЬ ОБ ОСТАВШИХСЯ ЖИВЫХ, Я БЫ ТОЖЕ НЕ СТАЛА БРАТЬ КОТА, ХОТЬ КТО УГОДНО БЫ У МЕНЯ ПОПРОСИЛ ПОЗАБОТИТЬСЯ О НЕМ

По возможности - да. Просто бывает, что умирающий не осознает, что его последнее желание чертовски трудновыполнимо, но тем не менее ЖЕЛАЕТ, и что тогда - из шкуры выпрыгнуть?