в оздоровительном лагере заболел ребенок

Вы можете забрать своего ребенка когда угодно - это ваше право. При этом требование от Вас каких-либо расписок незаконно. Заберите ребенка и везите сразу в больницу - Вам нужно зафиксировать болезнь в больнице. При этом когда будете забирать ребенка постарайтесь все записывать на диктофон (мобильник) это будет доказательством в суде (страховая скорее всего откажет и надо будет идти в суд) .
Подумайте стоит ли оно того - трата времени будет большая. Заберите ребенка и расскажите всем какие нехорошие правила в лагере - никто туда не поедет больше.

Возможно они должны в легких случаях сами лечить ребенка. Т. е. он должен находиться в изоляторе.
Поэтому справку и не дают.
Выходит, что это ваше желание забрать, а не их - отправить домой.

а прикольно было бы в момент обнаружения заболевшего ребенка вызвать на место представителя страховой компании чтоб защищал интересы застрахованного лица...

Татьяна Забара, читая то, что Вы написали, с Ваших слов я поняла, что лагерь не супер. У нас был (в летнем лагере в августе), мед. пункт. Там лечили всех детей. Если родитель пожелал забрать нездорового ребёнка, отпускали. Даже сами предлагали. У нас заболела девочка Линель. И вожатая с директором позвонили маме Линель, и объяснили ситуацию. (у Линель поднялась температура, болит живот, клонит в сон, спит целыми днями, ничего не хочет, ложку супа съела, погрызла хлеб, так короче).