имеет ли право ГИБДД снимать номера с машин из другого региона?

Если у машины не "липовый" ТО, то осований для снятия ГРЗ вообще нет! Наказание за неопрятный внешний вид - это вообще что-то из области комиксов! С таким нарушением можно задерживать всех подряд! Нет такого наказания в "Таблице штрафов 2010 года"! Люфт в рулевых существует у всех машин, разница только в его величине, которую можно замерить только на СТО, но если машина прошла ТО и допущена к эксплуатации, то до следующего ТО она считается исправной, даже если у неё отвалились колёса! Заедание задней двери - устраняется за несколько минут! Так что задержание - развод на бабки! С другой стороны, сознавайте куда едете, машину надо содержать в порядке, неисправности, устранимые за пять минут, недопустимы! Обращайтесь в суд, требуйте компенсации за неполученный доход в результате незаконного задержания автомобиля! Требуют владельца или механика? Ну, приедут они, что им могут предъявить? Только претензии материального плана, т. е. вымогать взятку! Не пороть же их будут?

Какая разница какой регион! В одной стране живём и административный кодекс один и тот же во всех регионах.

ГИБДД имеют право на всё! (( Увы....

Не имеют права снимать номера! Пишите жалобу начальнику ГИБДД в 2-х экземплярах, один отдаете лицу уполномоченному принимать заявления и жалобы, на Вашем должны сделать отметку о принятии.
И заявление в милицию напишите. Его должны зарегистрировать в Книге Учета Сообщений о Преступлениях и выдать Вам корешок с номером материала в КУСП. Удачи!