Требуется ли доверенность на вывоз ребенка на отдых за рубеж от отца, если ребенок едет с матерью? в разводе

Если мы говорим о вывозе - то нет, не надо.
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей.

Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.

"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Соответственно, ни чего не надо, если нет письменного запрета. В тоже время смотрите, куда вы едете. Это у нас не требуется разрешения родителя на вывоз. А в ряде стран оно требуется на ВВОЗ.

Про выезд несовершеннолетнго заграницу и несогласии одного из родителей указано в статьях 20-21 Закона "О порядке въезда в РФ и выезда из РФ". Из них следует, что согласие нужно, если ребенок выезжает совсем без родителей, а с одним из родителей - не требуется. Но в некторые страны нужно согласие для въезда.
Вот, например, комментарии специалистов по этой теме в известной газете:
http://www.kp.ru/daily/24500/653550/
http://www.kp.ru/daily/24496/650012/

все расписано по ссылкам крайне подробно
с примерами и странами (их особенностями)

Требуется, а вдруг ты уедешь на ПМЖ и лишишь отца права на встречи с ребёнком.

Да, надо.

да, доверенность нужна, даже если не в разводе.
Просто придете к нотариусу, можно взять доверенность одну надолго, допустим, до достижения возраста 18 лет, а там прописать все страны, в которые вы можете поехать за это время, не обязательно в одну страну. Так и время сэкономите, и деньги, и подстрахуетесь на случай, если потом отец по каким-то причинам передумает ребенка с вами отпускать