будет ли иметь силу договор, не основанный на законе (и не противоречит ему), но заверенный у юриста

Договор может только противоречить, либо не противоречить закону. Третьего не дано. Раз он основан на законе, то значит не противоречит. Если не основан, то противоречит. Вот и все

Если красите волосы, то защитит вас договор возмездного оказания услуг.

Любая медицинская деятельность требует лицензии, а если вы лечите народной медициной, то тогда разрешения от специального органа

Федеральный закон "О лицензировании отдельных видов деятельности" от 04.05.2011 N 99-ФЗ
46) медицинская деятельность (за исключением указанной деятельности, осуществляемой медицинскими организациями и другими организациями, входящими в частную систему здравоохранения, на территории инновационного центра "Сколково");

Большинство сделок не требуют нотариального удостоверения

Договор можно заключить какой угодно и о чём угодно и с кем угодно.
Иной вопрос- стыкуется ли это с законом, в частности, с запретительными нормами?
Если нет, то договор имеет ничтожную силу.
Попросту он превращается в декларацию.
Что касается заверения документа, то не юрист, а нотариус облачён правом заверять.

Не будет. Должны быть предусмотрены в договоре законные основания. Если я сдам твою квартиру какому то козлу. и у меня нет на это законных оснований- будет ли этот договор законным считаться?)))

если бы оказываете услугу за денежную оплату по договору, бы можете обратиться в суд, только суд вас обяжет сначала предоставить разрешение и свидетельство на право заниматься частным предпринимательством и оказывать данные покрасочные услуги. Так же и во втором случае.