Должен ли я за свой счёт проводить межевание земельного участка находящегося в аренде

зависит от ситуации если для заключения договора аренды, то в определенных случаях да: когда сами формируете земельный участок для заключения договора аренды. Если же заключение договора аренды происходит через торги, то земельный участок уже должен быть сформирован и соответственно межевать его не нужно.
Если земельный участок находится в аренде и вы хотите изменить его границы, то соответственно вы и обязаны обеспечить межевание (вы конечно можете написать заявление: вроде хочу такой-то участок в таких границах, но они опишутся: такого земельного участка не существут, то бишь не поставлен на кадастровый учёт, хотите делайте межевание сами и ставьте на кадастровый учёт)... если это не ваше желание изменить границы земельного участка поставленного на кадастровый учёт, то соответственно не обязаны...
Есть конечно еще один вариант это когда администрация дала вам земельный участок не поставленный на кадастровый учет (это конечно не законно, но в практике такое встречается) и сейчас они хотят оформить всё по закону, то вам придется сделать это межевание иначе они просто расторгнут договор, вплоть до обращения в суд ...

Должен собственник. Это его проблемы, но если у Вас есть свой интерес - то это тоже возможно.

скорее всего да по решению властей. Как правообладатель.

если соседи нормальные не прихватили ваши земли арендованные или уже есть заборы-то не обязательно-межевание делается на новые участки и в спорных вопросах
но конечно за ваши деньги

А если власти сами дали выкопировку на уточнение границ, межевание сделала, а на торги все равно выставят и еще нужно убрать мою же хозпостройку с участка, заявление не принимают пока не уберу эту постройку.