Какие предоставить суду доказательства, на каком основании я ездила на авто мужа если собственник его мать?

Абсолютную чушь Вам тут понаписали! ВСЕ, кто раньше меня ответил.
"...суд требует доказательств на каком основании я управляла авто". Это суд очень толсто намекает, что бы Вы принесли в суд ДОВЕРЕННОСТЬ.
И запомните - доверенность никто не отменял. Отменили штраф за её отсутствие в документах, когда гаишник их проверяет.
И про десять дней - абсолютная глупость. 10 дней это право СОБСТВЕННОСТИ, но не ДОВЕРЕННОСТЬ (если она только на управление ТС, без права продажи).
Просто если Вы не принесёте доверенность в суд, то помимо решения суда о взыскании со свекрови в пользу страховой многих тысяч рублей, персонально на Вас суд наложит штраф за езду без документов. Потому судья и спрашивает.

Напишите доверенность и пусть она подпишет.... 10 дней с даты ее выдачи вы можете ездить без ОСАГО

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН
 
ОБ ОБЯЗАТЕЛЬНОМ СТРАХОВАНИИ ГРАЖДАНСКОЙ
ОТВЕТСТВЕННОСТИ ВЛАДЕЛЬЦЕВ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ
 

Статья 4. Обязанность владельцев транспортных средств по страхованию гражданской ответственности

2. При возникновении права владения транспортным средством (приобретении его в собственность, получении в хозяйственное ведение или оперативное управление и тому подобном) владелец транспортного средства обязан застраховать свою гражданскую ответственность до регистрации транспортного средства, но не позднее чем через десять дней после возникновения права владения им.

Протокол ДТП подтверждает что вы ездили на чужом авто без страховки. Естественно вам и возмещать

Даже если будет такой документ, то с вас это не снимает ответственности. Самым главным документом даже при наличии доверенности, которая много лет уже не требуется, и договора купли - продажи, является страховка ОСАГО, в которую вы должны быть вписаны в обязательном порядке. А такую страховку задним числом не сделать. Придётся платить.

Скажите что взяли ключи от машины а затем и саму машину против воли свекрови. Хотя она вам и запрещала ее брать

По современным законам только страховка даёт право управлять чужим транспортным средством, а не доверенность и т. д. Поэтому по-любому вы управляли автомобилем незаконно. За это и накажут.

Не вижу проблемы. Суд признает виновником собственника, т. е. свекровь, насчитает ей убыток, а Вы его покроете из собственных средств. Или Вы не собираетесь платить?